Guruh talabasi Qabul qildi: To’xtasinova Nafisa. Farg’ona 2022 Lobachevskiy geometriyasi reja: kirish I bob. Noyevklid geometriyasi

2.3-§. Lobachevskiy funksiyasi.
Parallellik burchagi bilan parallellik kesmasini bog’lovchi munosabatni mufassalroq tekshiraylik.
14-teorema. Parallellik kesmasi parallellik burchagini bir qiymatli aniqlaydi.
I sbot. va nuqtalar va to’g’ri chiziqlardan bir xil masofada yotsin., ya’ni
10-rasm.
. Bir xil yo’nalishda nuqtadan ga parallel qilib nuqtadan ga parallel qilib to’g’ri chiziqlarni o’tkazaylik, u vaqtda burchaklar parallelik burchaklari bo’ladi. ekanini ko’rsatsak, maqsadga erishgan bo’lamiz. Faraz qilaylik , aniqrog’i bo’lsin. U holda qo’ysak, bo’lgani uchun nur to’g’ri chiziqni biror nuqtada kesadi. dan boshlab parallellik yo’nalishi tomon kesmani qo’yib, nuqtani hosil qilsak: (ikki kateti bo’yicha), u holda bo’lib, nur bilan ustma-ust tushishi kerak, lekin demak, ular kesishmaydi, ya’ni . Shunday qilib, teng kesmalarga mos kelgan parallellik burchaklari ham teng.
15-teorema. Parallellik kesmasi oshgan sari parallellik burchagi kamaya boradi: katta kesmaga kichik parallellik burchagi to’g’ri keladi.
Isbot. to’g’ri chiziqning bir tomonidagi nuqtalardan (25-chizma) to’g’ri chiziqlar o’tgan bo’lsin. parallellik kesmalari bo’lib, bo’lsin, bu vaqtda tegishli parallellik burchaklari uchun tengsizlikning o’rinli bo’lishini isbotlaymiz. burchak ning qo’shni burchagi bo’lsin, ya’ni , ammo shu sababdan , bu ikki tenglikdan . Bunday bog’lanishni Lobachevskiy simvoli bilan belgilaydi. – Lobachevskiy funksiyasi deb yuritiladi. Bu funksiya Lobachevskiy geometriyasida asosiy ro’l o’ynaydi, shuning uchun biz bu funksiyaning ba’zi soda xossalari bilan qisqacha tanishamiz.

1. 
   Lobachevskiy funksiyasining aniqlash sohasi , qiymatlari sohasi esa
   
2. 
   funksiya monoton kamayuvchilar.
   
3. 
   funksiya uzluksiz.
   
4. 
   Lobachevskiy funksiyasi elementar funksiyalar orqali quyidagicha ifodalanadi: (bunda –natural logarifmlar asosi, –parallelli kesmasi, doimiy son bo’lib, uni ma’lum sabablar ko’ra Lobachevskiy fazosining egrilik radiusi deb atladi). Shunisi diqqatga sazovorki , da bo’ladi, bundan quyidagi xulosani chiqarish mumkin: Lobachevskiy tekisligining yetarlicha kichik qismida Evklid geometriyasining qoida-qonunlari o’rinlidir.
   

Lobachevskiy tekisligidagi to’g’ri chiziqlarni joylashishida yuz beradigan bir holni ko’zdan kechiraylik.