Guruh talabasi Qabul qildi: To’xtasinova Nafisa. Farg’ona 2022 Lobachevskiy geometriyasi reja: kirish I bob. Noyevklid geometriyasi

2.4-§. Aylana, Ekvidistanta va Oritsikl chiziqlar.
Ma’lumki, Evklid tekisligidagi ikki chiziq – to’g’ri chiziq bilan aylana o’zining ajoyib bir xossasi bilan boshqa chiziqlar o’z shaklini o’zgartirmasdan o’z-o’zi bo’ylab sirpanadi. Bunday xossaga ega chiziqlar o’zgarmas egrilikka ega chiziqlar deb ataladi. Bunday xossaga ikki chiziqning mavjudligi Evklid tekisligida ikki to’g’ri chiziqning o’zaro ujju xuk-kesishuvchi va parallel holda joylanishi bilan uzviy bog’langandir. Bu esa o’z yo’lida Evklid tekisligida to’g’ri chiziqning ikki xil dastasi borligining natijasidir: 1) dasta markazi deb ataladigan nuqtadan o’tgan barcha to’g’ri chiziqlar to’plami (markazli dasta); 2) bir to’g’ri chiziqqa parallel bo’lgan barcha to’g’ri chiziqlar to’plami (markazsiz dasta). Markazli dastaning ortogonal trayektoriyasi aylanadan, markazsiz dastaning ortogonal traektoriyasi esa to’g’ri chiziqdan iborat.
Lobachevskiy tekisligida ham yuqoridagi xossaga ega bo’lgan bunday chiziqlarning mavjudligi to’g’ri chiziqlarning o’zaro joylashuviga bog’liqdir. Lobachevskiy tekisligida ikki to’g’ri chiziq kesishuvchi (yaqinlashuvchi), o’zaro parallel (ma’lum yo’nalishda) va uzoqlashuvchi bo’lishi mumkin, ya’ni Lobachevskiy tekisligida to’g’ri chiziqlarning uch xil dastasi mavjud: 1) bitta nuqtada kesishuvchi barcha to’g’ri chiziqlar to’plami elliptsik dasta deb yuritiladi; 2) biror to’g’ri chiziqlar to’plami parabolik dasta deb ataladi; 3) tayin to’g’ri chiziqqa perpendikulyar bo’lgan barcha to’g’ri chiziqlar, ya’ni uzoqlashuvchi to’g’ri chiziqlar to’plami giperbolik dasta deb ataladi. Bu uch xil dastaning mavjudligi munosabati bilan doimiy egrilikka ega bo’lgan uch xil egri chiziq borligini ko’rsatamiz. Buning uchun avval ba’zi tushunchalarni kiritaylik.

12-rasm
Ixtiyoriy ikki to’g’ri chiziqni uchinchi to’g’ri chiziq kesib o’tganda hosil bo’lgan ichki bir tomonli burchaklar teng bo’lsa (ya’ni ), to’g’ri chiziq ning teng og’ishli kesuvchisi deb ataladi.
17-teorema. To’g’ri chiziqlar dastasiga tegishli ixtiyoriy ikki to’g’ri chiziqning biridagi nuqtadan ikkinchisiga teng og’ishli faqat bitta to’g’ri chiziq o’tkazish mumkin.


15-rasm.

14-rasm.

13-rasm.
Isbot. 1-hol. to’g’ri chiziqlar markazli dastaga tegishli bo’lsin (31-chizma). to’g’ri chiziqdagi ixtiyoriy nuqtani olib, nuqtadan boshlab to’g’ri chiziq ustiga ga teng kesma qo’ysak, da nuqta ( ) hosil bo’ladi. teng yonli bo’lgani uchun . Bu burchaklarni to’ldiruvchilari ham o’zaro teng bo’lgani uchun to’g’ri chiziq uchun teng og’ishli kesuvchi bo’ladi. Ravshanki, nuqtadan ni teng og’ishda kesuvchi boshqa to’g’ri chiziq o’tmaydi.