Gilbert-shmidt teoremasi. Spekt va rezolventa 1 Teskari operatorlar

1.3. operatorga teskari operator mavjudmi? Agar mavjud bo‘lsa, uni toping.
Yechish. Berilgan operatorga teskari operator mavjud bo‘lishi uchun, ixtiyoriy da tenglama yagona yechimga ega bo‘lishi kerak. Endi tenglikdan ni topamiz:
.
Bundan

ya’ni
.
Shunday qilib, operatorga teskari operator mavjud bo‘lib u

ko‘rinishga ega. 1.1-teoremaga ko‘ra u chiziqli operator bo‘ladi. ∆
1.4. 1.3 misolda qaralgan operator teskari operatorlar haqida Banax teoremasi shartlarini qanoatlantiradimi?
Yechish. va lar Banax fazolari bo‘lganligi uchun akslantirishning biyeksiya ekanligini ko‘rsatish yetarli. fazodan ixtiyoriy ikkita turli va elementlarni olamiz va ekanligini ko‘rsatamiz. Teskaridan faraz qilaylik, bo‘lsin. So‘nggi tenglikdan ekanligiga kelamiz. Bu qarama-qarshilik akslantirishning inyektiv ekanligini ko‘rsatadi. 14.3-misolda ixtiyoriy uchun tenglama yagona yechimga ega ekanligi ko‘rsatilgan edi. Bu esa akslantirishning syuryektiv ekanligini ko‘rsatadi. Demak, biyektiv akslantirish ekan. ∆

1.3-teorema. chiziqli operator teskarilanuvchan bo‘lishi uchun tenglama faqat yechimga ega bo‘lishi zarur va yetarli.
Isbot. Zaruriyligi. teskarilanuvchan bo‘lsin. U holda tenglama yagona yechimga ega bo‘ladi. chiziqli bo‘lgani uchun bu yechim bo‘ladi.
Yetarliligi. tenglama faqat nol yechimga ega bo‘lsin, u holda ixtiyoriy uchun tenglama yagona yechimga ega bo‘ladi. Teskarisini faraz qilaylik, biror uchun yechim ikkita bo‘lsin, ya’ni . U holda bo‘ladi. Shartga ko‘ra, . Bundan .