Gilbert-shmidt teoremasi. Spekt va rezolventa 1 Teskari operatorlar

1.8-misol. Parametr ning qanday qiymatlarida

operatorga 14.5-teoremani va uning 14.1-natijasini qo‘llash mumkin?
Yechish. ekanligini tekshiramiz. Shu maqsadda ixtiyoriy elementlarni va ixtiyoriy sonlarni olamiz va operatorning elementga ta’sirini qaraymiz:

Biz bu yerda integralning additivlik va bir jinslilik xossalaridan foydalandik. Endi operatorning chegaralangan ekanligini ko‘rsatamiz. Buning uchun norma kvadratini baholaymiz:
. (1.11)
Endi Koshi-Bunyakovskiy - tengsizligidan hamda

ayniyatlardan va ning 1 ga ortogonalligidan foydalansak, (14.11) dan
(1.12)
tengsizlik kelib chiqadi. (14.12) dan
(1.13)
tengsizlikka ega bo‘lamiz. Ikkinchi tomondan desak, u holda
va
bo‘ladi. Ma’lumki,

va (1.13) dan foydalansak, tenglikka ega bo‘lamiz. Bu yerdan barcha lar uchun tengsizlikning bajarilishi kelib chiqadi. Demak, 14.5-teorema va uning natijasiga ko‘ra, barcha larda operatorga teskari operator mavjud va chegaralangan. 14.5-teorema shartlarining bajarilishi operatorga teskari operator mavjud va chegaralangan bo‘lishini ta’minlaydi. Lekin ekanligidan operatorga chegaralangan teskari operator mavjud emas degan xulosa kelib chiqmaydi. ∆
Navbatdagi misolimiz bu fikrimizni tasdiqlaydi.
14.9. Parametr ning qiymatlarida

operatorga 1.5-teoremani qo‘llab, unga teskari operatorni toping.
Yechish. 1.8-misolda qiymatlar uchun operatorga teskari operator mavjudligi ko‘rsatilgan edi. Bu misolga 1.5-teoremani qo‘llashimiz uchun operatorning darajalarini hisoblashimiz kerak. Dastlab operator kvadratini hisoblaymiz:
. (14.14)
(1.14) tenglikda bo‘yicha integralni hisoblash mumkin. Agar biz

tenglikni hisobga olsak, ga ega bo‘lamiz. Bu tenglikdan barcha larda ekanligi kelib chiqadi. Natijada biz, ga ega bo‘lamiz. Haqiqatan ham,

va

tengliklar o‘rinli. Isbot jarayonidan ma’lum bo‘ldiki, barcha larda operatorga teskari operator mavjud va chegaralangan bo‘ladi.