Gilbert-shmidt teoremasi. Spekt va rezolventa 1 Teskari operatorlar

Mustaqil ishlash uchun savol va topshiriqlar

1. 
   Teskarilanuvchan operator ta’rifini keltiring.
   
2. 
   Chiziqli operatorga teskari operator har doim chiziqli bo‘ladimi?
   
3. 
   Chiziqli chegaralangan operatorga teskari operator mavjud bo‘lsa, u chiziqli chegaralangan bo‘ladimi? Misollarda tushuntiring. 1.5, 1.6-misollarga qarang.
   
4. 
   - chiziqli operatorning yadrosi nolmas elementni saqlasa, u holda ga teskari operator mavjud bo‘lishi mumkinmi?
   
5. 
   1.10-misoldagi operatorga teskari operatorni toping.
   
6. 
   1.5-misolda keltirilgan operatorga teskari operatorni toping. operatorning aniqlanish sohasini toping. tenglik to‘g‘rimi? Agar bu tenglik to‘g‘ri bo‘lmasa, to‘plam fazoning hamma yerida zichmi?
   
7. 
   Ko‘paytirish operatori ning teskarilanuvchan bo‘lishining zarur va yetarli shartini toping.
   
8. 
   Ko‘paytirish operatori ga chegaralangan teskari operator mavjud bo‘lishining zarur va yetarli shartini toping.
   
9. 
   Ko‘paytirish operatori ga teskari operatorni toping. U chegaralangan operator bo‘ladimi?
   
10. 
    Ko‘paytirish operatori ga teskari operator mavjudmi? Bu operatorning yadrosini toping. tenglik to‘g‘rimi? Bu yerda deb sonining butun qismi belgilangan.
    

2. Qo‘shma operatorlar

chiziqli normalangan fazoni chiziqli normalangan fazoga
akslantiruvchi chiziqli uzluksiz operator berilgan bo‘lsin, ya’ni

Bizga ixtiyoriy chiziqli chegaralangan funksional berilgan bo‘lsin. Bu funksionalning elementga ta’sirini qaraymiz Osongina ko‘rsatish mumkinki, funksional da aniqlangan biror chiziqli funksionalni aniqlaydi. Shunday qilib,
(2.1)
Endi (2.1) tenglik bilan aniqlangan funksionalning chiziqli ekanligini ko‘rsatamiz:

(2.2)
(2.2) tenglik barcha va ixtiyoriy lar uchun o‘rinli. Demak, chiziqli funksional ekan. Endi uning chegaralangan ekanligini (uzluksizligini) ko‘rsatamiz. Ixtiyoriy uchun

tengsizlik o‘rinli. Bu yerdan funksionalning chegaralanganligi kelib chiqadi.
Agar funksionalning nuqtadagi qiymatini deb belgilasak, u holda
(2.3)
2.1-ta’rif. Bizga chiziqli normalangan fazolar va chiziqli chegaralangan operator berilgan bo‘lsin. Agar biror operator va ixtiyoriy lar uchun

tenglik o‘rinli bo‘lsa, operator ga qo‘shma operator deyiladi.
Demak, har bir funksionalga (2.3) tenglik bilan aniqlanuvchi funksionalni mos qo‘yuvchi operator operatorga qo‘shma operator deb ataladi.
Qo‘shma operatorlar quyidagi xossalarga ega:
1. operator chiziqli.
2.
3. Ixtiyoriy son uchun
4. Agar uzluksiz bo‘lsa, u holda ham uzluksiz bo‘ladi.
Aniqrog‘i, quyidagi tasdiq o‘rinli.