"Геометрические построения циркулем и линейкой" 46

Задача 16. Постройте треугольник ABC, если даны А,  C и отрезок, равный сумме стороны АС и высоты ВН.
Решение.Анализ.


Рис.67
Допустим, что ∆АВС удовлетворяющий условиям задачи построен. В этом треугольнике A и С равны данным углам, а сумма высоты ВН и стороны АС равна данному отрезку, то есть BH+AC=BD. Построить ∆А₁ ВС₁, у которого C₁A₁B =САВ и A₁C₁B=ACB, мы можем, если на продолжении ВН₁ отложить от точки Н₁ отрезок, равный А₁ С₁, то BD_l=BH₁+A₁C₁. Так как
∆АВС~ ∆∆А₁ ВС₁, то ∆BAD~∆BA₁D₁ и становится ясным, как надо строить искомый треугольник.
Построение.
Сначала строим ∆ВА₁С₁, у которого два угла (A₁ и C₁) равны соответственно данным углам (А и С).
Проводим высоту ВН₁ и на продолжении высоты откладываем сторону А₁С₁, получим точку D₁(BD₁=BH₁+A₁C₁). Соединим точку D₁ с точкой А_1. теперь на прямой BD₁ от точки В в сторону точки D₁ откладываем отрезок ВD равный данному отрезку (сумма стороны АС и высоты ВН). Через точку D проводим прямую параллельно D₁A₁, которая пересечет прямую ВА₁ в точке А. Проводя через точку А прямую параллельно А₁С₁, получим искомый ∆АВС.
Доказательство.
Из подобия треугольников ВА₁ С₁ и ВАС и BA₁D и BAD следует, что ∆АВС есть искомый.
Исследование.
Очевидно, что задача всегда имеет единственное решение, когда А+С< π.
Задача 17. Постройте треугольник, если дана описанная окружность и на ней точки h,b и m, через которые проходят прямые, содержащие высоту, биссектрису и медиану треугольника, проведенной из одной вершины.
Решение.


Рис.33


Анализ.
Пусть искомый ∆PQR построен, РН₁ - высота, РВ₁ - биссектриса, PN - медиана этого треугольника. Точки Н₁, В,M известны и лежат на описанной окружности. Так как точка В лежит на биссектрисе угла QPR, то и
ᴗQB=ᴗ BR . соединим точку В с центром О.Ясно, что ВО QR и N - середина стороны QR. ВО HP как прямые перпендикулярны одной и той же прямой QR. Эти рассуждения подсказывают нам путь к построению искомого треугольника.
Построение.
Соединим точку В с центром описанной окружности О. Через точку H проведём прямую параллельно ВО, которая пересечёт данную окружность в точке Р. эта точка Р и есть вершина искомого треугольника. Соединим точку Р с точкой М. Прямая РМ пересечёт ВО в точке N через точку N проведём прямую перпендикулярно ВО; она пересечет окружность в точках Q и R. Построенный ∆QPR - искомый.
Доказательство.
Построенный ∆QPR есть искомый, так как он удовлетворяет всем условиям задачи. HP есть прямая на которой лежит высота ∆QPR по построению. ᴗQB=ᴗBR потому, что ВО -серединный перпендикуляр к QR, а равные хорды QB и BR оттягивают равные дуги, следовательно, BP есть биссектриса угла Р. и, наконец, MP есть прямая, на которой лежит медиана PN, так как N- середина стороны QR.
Исследование.
Задача всегда имеет решение, когда данные точки Н,В,М расположены по дуге меньшей, чем полуокружность, то есть ᴗ HBM < 180 .(Другие её в двух точках или не имеет общих точек.


ЗАДАЧИ

1. 
   Найти геометрическое место центров окружностей, проходящих через две данные точки.
   
2. 
   Найти геометрическое место середин отрезков, отсекаемых боковыми сторонами данного треугольника на прямых, проведённых параллельно его основанию.
   
3. 
   Найти геометрическое место центров окружностей, описанных данным радиусом и касающихся данной окружности.
   
4. 
   Найти геометрическое место центров окружностей данного радиуса, отсекающих на данной прямой хорды данной длины.
   
5. 
   Найти геометрическое место центров окружностей данного радиуса, имеющих с данной окружностью (О, r) общие хорды данной длины d.
   
6. 
   Найти ГМТ, расположенных внутри данного угла АОВ, которые вдвое дальше отстоят от стороны OA, чем от стороны ОВ.
   
7. 
   Найти геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных из данной точки на прямые, проведённые через другую данную точку.
   
8. 
   Отрезок данной длины движется так, что концы его скользят по сторонам прямого угла. Какую линию опишет его середина?
   
9. 
   Дан остроугольный треугольник. Найти геометрическое место центров прямоугольников, вписанных в этот треугольник так, что основания прямоугольников лежат на основании треугольника, а две вершины — на боковых сторонах треугольника.
   
10. 
    Построить треугольник по основанию, высоте и боковой стороне.
    
11. 
    Построить треугольник по основанию, высоте и медиане, проведённой к боковой стороне.
    
12. 
    Построить треугольник по основанию, высоте и радиусу описанной окружности.
    
13. 
    Построить окружность, которая касалась бы данной окружности в данной точке и данной прямой.
    
14. 
    Построить окружность данного радиуса, касающуюся данной окружности и данной прямой.
    
15. 
    Построить окружность, проходящую через две данные точки и отсекающую на двух данных пересекающихся прямых равные хорды.
    
16. 
    Построить окружность данного радиуса, проходящую через данную точку и отсекающую от данной прямой хорду данной длины.
    
17. 
    Построить трапецию по основаниям и диагоналям.
    
18. 
    Построить трапецию по стороне, диагоналям и углу между
    диагоналями.
    
19. 
    Построить треугольник по трём его медианам.
    
20. 
    Даны две точки А и В по разные стороны от данной прямой а. Отложить на прямой а отрезок MN, равный данному отрезку так, чтобы длина ломаной АМNB была наименьшей.
    
21. 
    Из трёх данных прямых две параллельны, а третья их пересекает. Построить равносторонний треугольник с вершинами на этих прямых и стороной, равной данному отрезку а.
    
22. 
    Через данную точку провести прямую так, чтобы отрезок её, заключённый между двумя данными параллельными прямыми, был равен данному отрезку.
    
23. 
    Между сторонами данного угла поместить отрезок, равный данному отрезку , так, чтобы он был параллелен данной прямой, пересекающей обе стороны данного угла.
    
24. 
    Между двумя параллельными прямыми дана точка. Провести окружность, проходящую через эту точку и касательную к данным прямым. (Решить методом переноса.)
    
25. 
    Между сторонами данного угла поместить отрезок, равный данному, так, чтобы он отсекал от сторон угла равные отрезки. (Решить методом переноса.)
    
26. 
    10. Построить параллелограмм, основанием которого служит данный отрезок, а две другие его вершины лежат на двух данных окружностях.
    
27. 
    Провести параллельно данной прямой а секущую к двум данным окружностям так, чтобы сумма (или разность) образуемых ею хорд была равна данному отрезку.
    
28. 
    Построить четырёхугольник по трём сторонам и двум углам, прилежащим к неизвестной стороне.
    
29. 
    Построить четырёхугольник, зная четыре его стороны и угол между двумя противоположными его сторонами.
    
30. 
    Построить четырёхугольник по диагоналям, углу между ними и двум смежным (или несмежным) его сторонам.
    
31. 
    Построить равносторонний треугольник, имеющий одной своей вершиной данную точку А, а две другие вершины — на данных параллельных прямых.
    
32. 
    Из данной точки Р, как из центра, описать дугу окружности так, чтобы концы её лежали на данных двух окружностях, а градусная мера её была равна градусной мере данного угла.
    
33. 
    Через данную точку Р провести прямую так, чтобы отрезок её, заключенный между двумя данными кружностями, делился этой точкой пополам.
    
34. 
    В данный параллелограмм вписать квадрат.
    
35. 
    В данный квадрат вписать равносторонний треугольник.
    
36. 
    Построить треугольник по двум сторонам и разности противолежащих им углов.
    
37. 
    На основании данного равнобедренного треугольника ABC найти точку, разность расстояний которой до боковых сторон равна данному отрезку.
    
38. 
    Даны две окружности и прямая между ними. Построить равносторонний треугольник так, чтобы две его вершины были на окружностях, а одна из высот лежала на данной прямой.
    

3. Примерный подбор материала для факультативного занятия по теме "Геометрические построения циркулем и линейкой"