"Геометрические построения циркулем и линейкой" 46

Задача 14. Постройте треугольник по периметру и двум углам.
Решение
Даны два угла и и периметр треугольника Р.
Рис.27
Надо построить треугольник.
Анализ.
Допустим, что такой треугольник ABC построен. Продолжим сторону АВ за вершину и отложим AM = АС и BN=CB (рис.28 а). Соединив точки М и N с С, получим ∆CMN. В этом треугольнике CAM=CBM, a MN=P. Следовательно, ∆CMN мы можем построить по стороне и двум прилежащим углам Построив ∆CMN, можно перейти к построению искомого.
Построение.
На произвольной прямой откладываем отрезок MN, равный данному отрезку Р. Строим угол равный  с вершиной в точке М, сторона которого лежит на прямой MN. Далее,

М

С

рис29 а

с троим угол  с вершиной в точке N и стороной MN так, чтобы другая сторона лежала по ту же сторону от прямой MN, по которую лежит сторона угла с вершиной в точке М. Тогда стороны построенных углов пересекутся в точке С. Получим ACMN. Проводим к сторонам МС и NС серединные перпендикуляры, которые пересекут MN в точках А и В. ∆АВС - искомый.

Доказательство.
∆АМС - равнобедренный, так как АМ=МС, тогда СМА=АМС=. Но CAB=CMB+AMO. Аналогично  САВ= . Периметр треугольника ABC равен AC+AB+CB=MA+AB+BN=MN=P по построению. Следовательно, ∆АВС есть искомый.
Исследование.
Задача имеет единственное решение при + < π.
Задача15. Постройте треугольник по стороне, разности углов при этой стороне и сумме двух других сторон.
Решение.Анализ.
Допустим, задача решена. В треугольнике ABC ВС есть данный отрезок, АВ+АС есть данный отрезок и разность углов (В-С) есть данный угол.


^{B С} Рис.30
Продолжим сторону С А за вершину А и отложим от точки А отрезок АА₁=АВ. Если сможем построить треугольник А₁ ВС, то мы сможем построить и искомый. Так ∆ВАА₁ равнобедренный, то BA₁A=ABA₁+BA₁ A =A₁ BA. По отношению к ∆ABC ВАС - внешний, поэтому ВАС =ABA₁+BA₁A=A₁BA. Следовательно
A₁BA= BAC
Но, с другой стороны, угол ВАС =π - ( В+С), тогда
A₁BA= _{[π-(B+C)]= } вычислим угол CBA₁=B+ABA₁=B +

Таким образом, в ∆СВА₁ нам известны сторона ВС, прилежащий угол СВА₁ противолежащая сторона СА₁. Построив ∆СВА₁, мы можем построить искомый.
Построение.

Рис.31(а)
О ткладываем на произвольной прямой отрезок ВС Из точки С, как из не описываем окружность радиусом, равным данной сумме сторон (СВ+АВ). Восстановим из точки В перпендикуляр BN к ВС.

В С
Построим угол, равный половине данной разности углов (В-С), а другая сторона располагалась с той стороны от BN, по которую не лежит точка С.это сторона угла пересечёт окружность в точке А₁ , соединим точку А₁ с точкой С отрезку А₁В проведем серединный перпендикуляр, который пересечет А₁С в А. Треугольник ABC-искомый.
Доказательство.
Построенный ∆АВС есть искомый потому, что он удовлетворяет всем условиям задачи. ВС и ВА+АС суть данные отрезки по построению и разность углов при стороне ВС есть данная величина. Это следует из анализа.
Исследование.

рис. 32
Ч тобы задача имела решение, надо чтобы ВС был меньше АВ+АС и разность углов при стороне ВС была меньше