"Геометрические построения циркулем и линейкой" 46

Задача 10. Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведенной к третьей стороне.
Решение. Анализ.
Дано
а b m_с
рис.23
Допустим, что такой треугольник построен. В треугольнике ABC нам известны две стороны и медиана к третьей. Если продолжить медиану СМ и отложить на продолжении отрезок MD равный СМ, то получим треугольник CBD, у которого три стороны данные отрезки. ∆ACM=∆BDM, т.к. АМ=ВМ, CM=MD и CMA= BMD как вертикальные, следовательно, CA=BD. Таким образом в треугольнике CBD СВ=a , BD=b и CD=2 m_c. построив ∆CBD, мы можем затем построить искомый.
Построение.
Строим сначала треугольник CBD по трём сторонам. Затем проводим медиану ВМ к стороне CD. Продолжим ВМ и отложим на продолжении отрезок МA равный ВМ. Соединив А с С, получим искомый ∆АВС.
Доказательство
Построенный ∆АВС есть искомый, т.к. он удовлетворяет всем условиям задачи. В самом деле: сторона СВ=а по построению. Сторона СА= b.так как ∆BMD=∆AMC, a BD=b по построению, но BD=CA. CM=  CD=m_c.
Исследование
Треугольник ABC всегда можно построить, если можно построить ∆CBD, a ∆CBD существует, если a+b >2m_c.
Задача 11. Дан треугольник ABC. Постройте отрезок DE, параллельный прямой АС, так, чтобы точки D и Е лежали на сторонах АВ и ВС и DE - AD+ СЕ.
Решение:
Анализ.
Положим, что задача решена, т.е. отрезок DE построен. Так как AD+BC=DE, то на отрезке DЕ есть точка М такая, что AD=DM и МЕ=ЕС. Следовательно, треугольники ADM и МЕС -равнобедренные. Тогда DAM =AMD и ЕМС=МСЕ. Угол DMA равняется углу MAC, как накрест лежащие при параллельных прямых (ED  АС), пересеченных третьей AM. Тогда AM есть биссектриса угла АСЕ. Следовательно, точка М есть точка пересечения биссектрис углов А а С данного треугольника. Это даёт нам ключ к построению отрезка DE.
П остроение. В данном треугольнике ABC проводим биссектрисы углов А и С, которые пересекутся в точке М (рис. 32). Через точку М проводим прямую параллельную АС, которая пересечёт стороны треугольника в точках DиE. Отрезок DE-
А Рис.24 С искомый.
Доказательство
Построенный таким образом отрезок DE есть искомый, так как DE АС по построению и DE=AD + ЕС
Исследование
Задача всегда имеет единственное решение. Это следует из того, что биссектрисы внутренних углов пересекаются в точке, лежащей внутри ∆АВС. А через точку М проходит одна прямая параллельная данной.