"Геометрические построения циркулем и линейкой" 46

Задача 12. Дан равносторонний треугольник ABC и D₁ на стороне АС. На сторонах ВС и АВ постройте точки А₁ и С₁ , так чтобы треугольник ∆А₁В₁С₁ был равносторонним.
Р е ш е н и е.
Анализ.
Допустим, что такой ∆А₁В_!С₁ построен. Очевидно, что если точка B₁ будет серединой стороны АС, то искомый треугольник легко построить. В этом случае надо через точку В, провести прямые, параллельные сторонам АВ и ВС, или тоже самое- взять середины сторон АВ и ВС. Допустим, что точка В₁ не есть середина стороны АВ и ВС. Допустим треугольники AВ₁ С₁ , В₁ СA₁, и С₁ ВА₁. Эти треугольники равны по второму признаку равенства треугольников. В самом деле в этих треугольниках В₁ С₁ =С₁ А₁ =А₁ В₁ - как стороны равностороннего треугольника. Кроме того:  А₁ С₁
Построение.
Отложим на стороне АВ от вершины А отрезок АС₁=СВ₁ и
на стороне ВС от вершины отрезок ВA₁=СВ₁. Соединив точки С₁,А₁, В₁ получим искомый ∆А₁В₁С_1.

Рис.25

С

А C₁ В
Доказательство.
Построенный треугольник А₁В₁С₁ есть искомый, так как: из равенства треугольников AВ₁ С₁ , В₁ СA₁, и С₁ ВА₁ следует что В₁ С₁ =С₁ А₁.
Исследование.
Очевидно, что задача всегда имеет единственное решение, то есть каждый раз, когда точка В выбрана, точка А₁ и С₁ определяются однозначно.
Задача 13. Постройте треугольник по углу, высоте и биссектрисе, проведенным из вершины этого угла.
Решение Анализ.


рис26
Допустим, что задача решена. В треугольнике AВС должен равняться данному углу , высота ВМ должна равняться данному отрезку h, а биссектриса В - отрезку l . ясно, что ∆BMN - прямоугольный и в этом треугольнике катет ВМ и гипотенуза BN известные отрезки, следовательно, ∆BMN мы можем построить. Затем можем перейти к построению искомого треугольника, для этого надо учесть, ABN = CBN =
Построение.
Строим прямоугольный треугольник BMN, у которого BM=h, BN=l и М- прямой. Затем с вершиной в точке В по обе стороны от прямой BN строим углы, равные, так чтобы одна сторона угла совпала с прямой BN. Другие стороны этих углов пересекут прямую MN в точках А и С. ∆ ABC - искомый.
Доказательство.
Построенный треугольник ABC удовлетворяет всем условиям задачи. В самом деле: BM=h, BN=l и В= по построению.
Исследование.
∆АВС можно построить единственным образом, если можно построить ∆BMN. Но треугольник BMN определяется однозначно, если h ≤ l .