"Геометрические построения циркулем и линейкой" 46

Задача 2. Даны три точки: А, В, С. Постройте точку Х, которая одинаково удалена от точек А и В и находится на данном расстоянии от точки С.
Решение. Искомая точка Х удовлетворяет двум условиям:
1) она одинаково удалена от точек А и В;
2) она находится на данном расстоянии от точки С. Геометрическое место точек, удовлетворяющих первому условию, есть прямая, перпендикулярная отрезку АВ и проходящая через его середину. Геометрическое место точек, удовлетворяющих второму условию, есть окружность данного радиуса с центром в точке С. Искомая точка Х лежит на пересечении этих геометрических мест.


Рис.36
Свой рассказ учитель может немного конкретизировать, а именно: сказать, что точкой Х может быть центр окружности, вершина треугольника и т.д.; точка Х может быть найдена и как точка пересечения построенного геометрического места точек и данной в условии задачи фигуры (прямой, угла и т.д.).
При решении задачи, особое внимание обращается на проведение анализа: выделяется по условию задачи искомая точка; выясняется, каким условиям она должна удовлетворять, а значит, каким геометрическим местам точек она должна принадлежать (или геометрическому месту точек и данной фигуре); делается вывод: искомая точка - точка пересечения указанных геометрических мест точек. Учитель должен подвести учащихся к самостоятельным выводам и алгоритму построения искомой точки. Для этого можно задать следующие вопросы:
1. Каким условиям удовлетворяет искомая точка? [1) она одинаково удалена от т. А и В;
2) она находится на заданном расстоянии от точки С].
2. Что является ГМТ, удовлетворяющих первому свойству? (прямая, перпендикулярная отрезку АВ и проходящая через его середину).
3. Что является ГМТ, удовлетворяющих второму свойству? (окружность данного радиуса с центром в точке С).
4. Где будет находиться искомая точка Х? (на пересечении этих ГМТ).
Рассмотрим еще несколько задач, которые можно предложить для закрепления пройденного материала.
1. На данной прямой найдите точку, которая находится на данном расстоянии от другой данной прямой.
В задаче даны прямые а, m, расстояние h (рис.43). Искомая точка должна удовлетворять двум условиям:
1) лежать на прямой m (прямая дана);
2) находиться на прямой а на данном расстоянии, которое обозначим через h.
Геометрическим местом точек, находящихся на прямой а на расстоянии h, являются две прямые b и с, параллельные а и отстоящие от а на расстоянии h. Построим эти прямые. Искомая точка должна быть точкой пересечения прямых b или с с прямой m. На нашем рисунке две точки, удовлетворяющие этим условиям: А и В. (Если а||m, то могут представиться два случая: прямая m не пересекается с b и с и задача не имеет решения; прямая m совпадает с прямой b или прямой с, в этом случае любая точка прямой m является решением.)


Рис.37
2. На данной прямой найдите точку, равноудаленную от двух данных точек.
Искомая точка должна удовлетворять двум условиям:
1) равноудаленную от точек А и В, т.е. лежит на серединном перпендикуляре m к отрезку АВ;
2) лежит на данной прямой а.
Значит, искомая точка Х есть точка пересечения прямых а и m (рис.44). (Задача может не иметь решения, иметь бесконечное множество решений).



Рис.38
3. Постройте окружность, которая касается сторон данного угла, причем одной из них - в данной точке.
Предположим, что задача решена. Пусть точка О - центр искомой окружности (рис.45). Проведем ОА и ОС - радиусы окружности. Прямоугольные треугольники АВО и СВО равны по катету и гипотенузе (АО=СО=R, ВО - общая). Из равенства треугольников следует, что АВО= СВО, т.е. ВО - биссектриса угла АВС.
Рис.39
Построение. Проведем биссектрису АВС и перпендикуляр к стороне ВА, проходящий через точку А. Точка О пересечения биссектрисы и перпендикуляра является центром искомой окружности.
4. Построить треугольник АВС по периметру р, углу В, равному , и высоте h, опущенной из вершины А.
Пусть задача решена и АВС построен (рис.46). Отложив на прямой ВС отрезки DВ=АВ и СЕ=АС, получим равнобедренные треугольники АВD и АСЕ.
Рис.40
Исходя из приведенных выше рассуждений, построение можно осуществить в следующей последовательности:

1. 
   Проводим прямую и на ней откладываем отрезок DE=р.
   
2. 
   На расстоянии h от прямой DE проводим прямую l, параллельную DE.
   
3. 
   С вершиной в точке D строим угол АDЕ, равный . Точка А - одна из вершин искомого треугольника.
   
4. 
   Проводим серединные перпендикуляры к отрезкам AD и АЕ. Точки В и С пересечения этих серединных перпендикуляров с прямой DE - две другие вершины искомого треугольника.