|
Fur’e integrali va uning tadbiqiga doir masalar yechish
Reja:
I.Kirish.
II.Asosiy qism
1.Fu’re integrali ta’rifi.
2.Juft va toq funksiyalarning fur’e integrali.
3.Fur’e integralining tor tebranishda qo’llanilishi.
4.Fur’e usulining umumiy sxemasi.
III.Xulosa
IV.Foydalanilgan adabiyotlar.
V.Internet saytlari.
Kirish
“Agar biz boshqa fanlarda shubhasiz aniqlikka va bexato haqiqatga kelmoqchi bo’lsak, unda har qanday bilimning negizlarini matematikadan boshlamog’imiz kerak”- deb yozgan edi ingliz faylasufi Rodjer Bekon.
Matematikaning qaysi sohasini olmang o’ziga xos tadbiqqa ega. Bunda integral muhim o’rin tutadi. Integral belgisi 1675-yildan beri kiritila boshlandi,integral hisoblash masalalari esa 1696-yildan beri ko’rib chiqila boshlandi.Garchi integral asosan matematiklar tomonidan o’rganilsada bu fanga fiziklar ham hissa qo’shgan.Fizikaning deyarli hech bir formulasi differentsial va integral hisoblarsiz to’liq emas.Shuning uchun men integral va uning tadbiqlari mavzusini o’rganib chiqdim.Integral tushunchasining tarixi kvadraturalarni toppish masalalari bilan chambarchas bog’liq.Qadimgi Yunoniston va Rim matematiklari u yoki bu tekis figuralarni kvadratga solish vazifalarini maydonlarni hisoblash vazifalari deb atashgan.Lotincha quadratura so’zi “kvadrat” deb tarjima qilinadi.
Integral so’zining o’zi J.Bernulli tomonidan yaratilgan.Bu ehtimol lotincha integrodan kelib chiqqan bo’lib, u avvalgi holatiga qaytarish,qayta tiklash deb tarjima qilinadi.Keyinchalik,1696-yilda matematikaning yangi bo’limining nomi-integral hisob paydo bo’ldi,uni I.Bernulli kiritgan.
Hozirgi kunda hayotimizda juda ko’p masalalarning matematik modeli, albatta differensial tenglamalar va integrallar orqali ifodalanadi. Bularni sonli yechishda sonli metodlardan foydalanamiz. Ma’lumki, ba’zi bir obyektlarni matematik modellashtirishda jism sirti va hajmini, jism og’irlik markazi va inersiya momentini, biror kuch ta’sirida bajarilgan ish miqdorini aniqlashga to’g’ri keladi. Bu kattaliklarni aniqlash, masalaning berilishiga bog’liq ravishda berilgan analitik funksiyani biror oraliqda aniq integrallashga keltiriladi.
Differensial tenglamalardan va ushbu fanning tarkibiy qismi bo’lmish fure integralini tor tebranishga qo’llanilishi mavzusi matematika fanining eng muhim bo’limlaridan biri bo’lib, u nafaqat uning boshqa bo’limlarida o’zining salmog’i tadbiqiga ega bo’lmay balki variatsion hisob, funksional analiz, kompleks analiz, oddiy differensial tenglama, matematik fizika fanlarining rivojida ham katta hissaga ega. Shu bois ushbu predmetni talab darajasida o’zlashtirish va matematikaning boshqa sohalariga hamda hayotga tadbiq qilish katta ahamiyatga egadir.
Ta’kidlash kerakki, fur’e integralini tor tebranishga qo’llanilishi juda katta nazariy va amaliy ahamiyatga ega. Fizika va texnikaning ko’plab masalalari, juda ko’p amaliy va iqtisodiy masalalar fur’e integrallari orqali yechiladi. Shu bois keyingi yillarda bunday tenglamalar va ular orqali yechiladigan masalalar maxsus maktab dasturlariga hamda olimpiada masalalari turkumiga kiritilgan. Shu nuqtai nazardan fur’e integrallarini o’rganish bugungi kunda dolzarb masalalardan biridir.
Fu’re integrallari ta’rifi
Fur’e integralini o’rganishdan oldin fur’e qatori bilan tanishib chiqishimiz kerak. Har bir hadi
quyidagi ko’rinishga ega bo’lgan
funksional qatorni trigonometrik qator deb ataladi.
sonlar esa trigonometrik qatorning koeffitsientlari deyiladi. Bu qatorda asosiy masala uning koeffitsientlarini topishdan iborat.
trigonometrik qatorning qismiy yig’indisi:
trigonometrik ko’phad deb ataladi.
Faraz qilaylik, funksiya da berilgan va shu oraliqda integrallanuvchi bo’lsin. U holda
,
Funksiyalar ham, ikkita integrallanuvchi funksiyasi ko’paytmasi sifatida da
Bu sonlardan foydalanib, ushbu
trigonometrik qatorni tuzamiz.
Ta’rif: koeffitsientlari formulalar bilan aniqlangan trigonometrik qator funksiyaning Fur’e qatori deb ataladi.
sonlar esa funksiyaning Fure koeffitsientlari deyiladi.
Endi esa Fur’e integrali tushunchasi bilan tanishamiz.
kesmada aniqlangan funksiya Dirixle teoremasi shartlarini qanoatlantirsa, u holda
ko’rinishidagi Fur’e qatori vositasida har tamonlama o’rganish mumkin. qator koeffisientlari
,
va
,
formulalar bilan hisoblanadi. Dirixle teoremasiga asosan qatorning yig’indisi ga tegishli istalgan uchun ushbu
tenglikni qanoatlantiradi.
Soddalik uchun dastavval ni da Dirixle teoremasi shartlarini
qanoatlantiruvchi uzluksiz funksiya deb faraz qilamiz. U holda tenglikning
o’ng tomoni istalgan uchun ga teng bo’ladi, ya’ni istalganda katta
chekli dagi o’zgarish qonuniyatini uning mos Fur’e qatori vositasida to’liq
o’rgana olamiz. Ammo chekli ortga borib, ga intilsa ,masala ancha
murakkablashadi va ushbu
Fur’e qatori dagi xosmas Fur’e integrali deb ataluvchi integraldan iborat
bo’ladi.
Darhaqiqat, agar da , koeffitsientlar o’rniga ularning dagi
ifodalarini qo’ysak, istalgan uchun
tenglik o’rinli bo’ladi.
Agar funksiya da absolyut integrallanuvchi, ya’ni
bo’lsa, u holda da
bunda, desak, bo’lib, istalgan uchun bo’ladi va ushbu
tenglikni hosil qilamiz. Agar da
deb olsak, tenglikning o’ng tomonidagi limit belgisi ostidagi
cheksiz yig’indisi ning ga nisbatan Riman integral yig’indisi bo’ladi.
Shuning uchun ning juda katta qiymatlarida so’nggi tenglikning
chap tomonidagi integral absolyut yaqinlashuvchi bo’lganidan foydalanib uni
ushbu
integral bilan almashtirsak, u holda
bo’ladi, dagi limitini ushbu
integral uchun Riman ma’nosidagi xosmas integral deb olamiz, u holda
tenglikni hosil qilamiz. Bu tenglikning o’ng tomonidagi integral Furye integrali
bo’lib, esa ning Fur’e integrali vositasidagi ifodasi deyiladi.
Juft funksiyaning Fur’e integrali.
Agar funksiya da juft bo’lsa,u holda istalgan uchun
bo’ladi. Bundan istalgan uchun
bo’ladi. Agar nuqta ning uzluksizlik nuqtasi bo’lsa, u holda ushbu
formulaga ega bo’lamiz.
M i s o l. Ushbu funksiyaning Fur’e integrali topilsin.
Bu funksiya juft bo’lgani uchun ga asosan
bo’ladi. Ushbu
formulaga ko’ra
va
bo’lib,
integral hosil bo’ladi.
Do'stlaringiz bilan baham: |
