Fur’e integrali va uning tadbiqiga doir masalar yechish Reja: I. Kirish. II

Toq funksiyaning Fur’e integrtali.
Agar funksiya da toq funksiya bo’lsa,u holda istalgan
uchun
,

bo’ladi.
va larning qiymatlari ixtiyoriy uchun

formula hosil bo’ladi.Bundan ning uzluksizlik nuqtalari uchun

munosabat kelib chiqadi.


Fur’e integralini tor tebranishida qo’llanilishi.
Asosiy aralash masalani tor tebranish tenglamasi uchun yechish.
Ma’lumki, bu masala

tenglamaning
chegaraviy shartlarni, hamda
,
bo’shlang’ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini topishdan iborat bo’ladi. Biz
tenglamaning aynan nolga teng bo’lmagan va chegaraviy shartlarni
qanoatlantiruvchi yechimini

ko’rinishda izlaymiz. Biz bu yerda ni faqat ga, ni esa faqat ga
bo’g’liq deb hisoblaymiz. ning o’ng tomonini tenglamadagi ning o’rniga olib borib qo’yamiz:
yoki
Oxirgi tenglikning chap tomoni ga, o’ng tomoni ga bo’g’liq emas.
Demak, yoki miqdorlarning har biri ga ham, ga ham bo’g’liq emas, ya’ni ular o’zgarmas. Bu o’zgarmasni orqali belgilab olamiz. U holda , ga asosan
,

Chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi aynan nolga teng bo’lmagan yechimini Shunday qilib, tenglama ikkita tenglamaga ajraldi, bulardan biri faqat ga bog’liq funksiyani, ikkinchisi esa faqat ga bog’liq funksiyani o’z ichiga oldi.
ko’rinishidagi chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi aynan
nolga teng bo’lmagan yechimni topish uchun tenglamaning

topish kerak.
Demak , parametrning shunday qiymatlarini topish kerakki, bu qiymatlarda tenglama shartlarni qanoatlantiruvchi noldan farqli yechimga ega bo’lsin. Bu masala odatda spektir masalasi yoki Shturm – Liuvill masalasi deyiladi. ning bunday qiymatlari _, masalaning xos qiymatlari (sonlari), bu qiymatlarga mos yechimlar esa hos funksiyalari deyiladi. tenglamaning umumiy yechimi, , yoki bo’lishiga qarab turli ko’rinishga ega bo’ladi.
Shuning uchun ham bu uchta holni alohida – alohida tekshiramiz.
1) bo’lgan hol. Bu holda tenglamaning umumiy yechimi

ko’rinishga ega bo’ladi. Bunda va -ixtiyoriy o’zgarmaslar. chergaraviy shartlarga asosan

Bu sistemaning determinanti noldan farqli bo’lgani uchun: . Demak

2) bo’lgan hol. Bu holda tenglamaning umumiy yechimi quyidagi ko’rinishda bo’ladi:

chegaraviy shartlarni qanoatlantirib, , tengliklarni hosil qilamiz. Bundan , demak,

3) bo’lgan hol. Bu holda tenglamaning umumiy yechimi

ko’rinishga ega bo’ladi. chegaraviy shartlarga binoan

Biz deb hisoblaymiz, aks holda bo’lib qoladi. Demak

bo’lgan holda va faqat shu holdagina, ya’ni yoki bo’lganda ,
bu yerda - butun son, masala ko’rinishdagi aynan noldan farqli
yechimga ega bo’ladi. va funksiyalar chiziqli bog’liq
bo’lgani uchun ning .natural qiymatlari bilan chegaralangan.
Demak, biz quyidagi hulosaga keldik: , sonlar , masalaning hos qiymatlaridir, funksiyalar esa, ularga mos hos
fuksiyalardir, noldan farqli ixtiyoriy haqiqiy o’zgarmaslar.
Biz quyidagi . deb hisoblaymiz . bo’lganda
tenglamaning umumiy yechimi

ko’rinishga ega bo’ladi, bunda , - ixtiyoriy o’zgarmaslar. Demak, , bir jinsli masala cheksiz ko’p chiziqli bog’liq bo’lmagan

yechimlarga ega bo’ladi. tenglama chiziqli va bir jinsli bo’lganligi uchun, yechimlarning cheksiz yig’indisi ham yechim bo’ladi.
Endi , , masalani yechimini

qator ko’rinishida izlaymiz. Agar bu qator tekis yaqinlashuvchi bo’lib, uni x va t
bo’yicha ikki marta hadlab differensiallash mumkin bo’lsa, qatorning yig’indisi
ham tenglamani qanoatlantiradi. qatorning har bir hadi
chegaraviy shartlarni qanoatlantirgani uchun yig’indisi funksiya ham bu
shartni qanoatlantiradi.
qatorning va koeffisentlarini shunday aniqlashimiz kerakki, qatorning yig’indisi funksiya boshlang’ich shartlarni ham qanoatlantirsin.
qatorni t bo’yicha differensiallaymiz:

va da deb, boshlang’ich shartlarga asosan ushbu

tengliklarni hosil qilamiz. formulalar berilgan , funksiyalarning
oraliqda sinuslar bo’yicha yoyilgan Fur’e qatoridan iboratdir.
yoyilmalar koeffisientlari


formulalar bilan aniqlanadi.
Quyidagi teoremani keltiramiz.
T e o r e m a: Agar funksiya segmentda ikki marta uzluksiz
differensiallanuvchi bo’lib, uchinchi tartibli bo’lak-bo’lak uzluksiz xosilaga ega
bo’lsa, esa uzluksiz differensiallanuvchi bo’lib, ikkinchi tartibli bo’lakbo’lak
uzluksiz hosilaga ega bo’lsa, hamda

Muvofiqlashtirish shartlari bajarilsa, u holda qator bilan aniqlangan
funksiya ikkinchi tartibli uzluksiz hosilalarga ega bo’lib, tenglamani,
chegaraviy va boshlang’ich shartlarni qanoatlantiradi. Shu bilan
birga qatorni va bo’yicha ikki marta hadlab differensiallash mumkin
bo’lib, hosil bo’lgan qatorlar ixtiyoriy da oraliqda absolut va tekis
yaqinlashuvchi bo’ladi.
Isbot: Avvalo muvofiqlashtirish shartlari qanday kelib chiqishiga
to’xtalib o’tamiz. ning birinchi ikkita sharti funksiyaning , ,
nuqtalarda uzluksizligidan va shartlarga asosan kelib chiqadi.
ning ikkinchi ikkita sharti esa xuddi shu nuqtalarda hosilaning
uzluksizligidan hosil bo’ladi. Uchinchi juft shartni esa quyidagicha chiqarish
mumkin. tenglamada deb,

tenglikni hosil qilamiz. shartlarni differensiallab,

tengliklarga ega bo’lamiz. Bu yerda deb oldingi tenglikda va desak, ning uchinchi sharti kelib chiqadi.
formulalardagi integrallarni bo’laklab integrallaymiz. shartlarga
asosan, quyidagilarni hosil qilamiz:
, .
Ushbu


belgilarni kiritamiz. U holda


va miqdorlar va funksiyalarning Fur’e koeffisientlaridan
iboratdir. Trigonomelrik qatorlar nazariyasidan ma’lumki,
,
qatorlar yaqinlashuvchi bo’ladi. ni qatorga olib borib qo’yamiz:

Bu qatorlar va uni ikki marta hadlab differensiallash natijasida hosil bo’lgan
qatorlar uchun ushbu

, , - o’zgarmaslar, yaqinlashuvchi qatorlar majaranda qatorlar ro’lini
o’ynaydi. Demak, qator va uni ikki marta differensiallash natijasida hosil
bo’lgan qatorlar absolyut va tekis yaqinlashuvchi bo’ladi.
Bundan qatorning yig’indisi funksiya o’zining birinchi va ikkinchi
tartibli hosilalari bilan birga uzlaksiz ekanligi kelib chiqadi. Shu bilan teorema
isbot bo’ldi.
Agar
,
desak, u holda asosiy masalamizning yechimi ni

ko’rinishda izlash mumkin. Bu qatorning har bir hadi turg’un to’lqin deb ataladi.
Bunda torning har bir nuqtasi bir xil fazoli, amplitudasi va
chastotali garmonik tebranish harakatini bajaradi.
Ma’lumki, , , masalaning yechimini berilgan va funksiyalarni oraliqdan tashqariga davr bilan toq funksiya
yoyilmasidan Dalamber formulasi bilan ifodalash mumkin, ya’ni

bu yerda va funksiyalar boshlang’ich va funksiyalarning
oraliqdan tashqariga davomidan iboratdir. va funksiyalar davrli bo’lgani
uchun ushbu
,
qatorlar bilan ifodalash mumkin. Bu qatorlarni formulaga qo’yib, sinus va
kosinuslarning yig’indisi va ayirmasi uchun formulalardan foydalansak, quyidagi
qatorni hosil qilamiz. Boshlang’ich shartlar bajarilishi uchun bo’lishini e’tiborga olsak, qator qator bilan ustma-ust tushadi.