Funksiyaning uzluksizligi va uzluksizlikslikdan foydalanib limitlarni hisoblash

5-ta’rif. Agar da ham nolga intilsa, yani

bo’lsa, funksiya z₀ nuqta da uzluksiz deyiladi.

6-ta’rif. Agar funksiya E to’plamning har bir nuqta sida uzluksiz bo’lsa, funksiya E to’plamda uzluksiz deyiladi.

Misol. Ushbu

funksiyaning ixtiyoriy nuqta da uzluksiz bo’lishini kursating.

nuqtani olaylik.

Demak, berilgan funksiya nuqtada uzluksiz.

2-teorema. funksiyaning z₀ nuqtada uzluksiz bo’lishi uchun

funksiyaning nuqtada uzluksiz bo’lishi zarur va etarli.

Bu teorema ham 1-teoremaga o’xshash isbotlanadi.

Xossalari:

1) Agar va funksiyalar z₀ nuqtada uzluksiz bo’lsa,

 ,  ,

funksiyalar ham z₀ nuqtada uzluksiz bo’ladi.

2) Agar funksiya yopiq D to’plamda uzluksiz bo’lsa, funksiya D da chegaralangan bo’ladi, ya’ni shunday o’zgarmas son mavjudki, D uchun

bo’ladi.

3) Agar funksiya yopiq D to’plamda uzluksiz bo’lsa, funksiya moduli D da o’zining aniq yuqori hamda aniq quyi chegaralariga erishadi, ya’ni shunday D nuqtalar topiladiki, D uchun

bo’ladi.