Funksiyaning uzluksizligi va uzluksizlikslikdan foydalanib limitlarni hisoblash

Yangi mavzu bayoni (50 minut)

10.1. Funksiyaning uzluksizlik moduli tushunchasi.

Faraz qilaylik, _{ } metrik funksiyasi _{ } dan iborat metrik fazo (kompakt bo’lishi shart emas) bo’l in. Quyidagi barcha xollarda bajarilishi lozim bo’lgan _{ } shartni _{ } ga yuklaymiz.

_{ } shart: Aytaylik, _{ } va _{ } nuqtalar shunaqaki, _{ }. U holda shunaqa _{ } nuqta topiladiki, _{ } tengsizliklar o’rinli bo’ladi.

Ravshanki, _{ } odatdagi metrika bilan -o’lchovli Evklid fazosining qavariq to’plami bo’lsa, xususiy holda son o’qining (chekli yoki cheksiz) kesmasi bo’lsa, _{ } shart bajariladi. Umuman bu shartni Banax fazosidagi ixtiyoriy qavariq to’plam qanoatlantiradi. Ravshanki, bu shart metrik funksiya sifatida nuqtalarini tutashtiruvchi uning qisqa yoyi uzunligi olingan _{ } birlik aylana uchun ham bajariladi.

_{ } fazoda aniqlangan haqiqiy _{ } funksiyalarni qaraymiz.

Ta’rif 10.1. _{ } funksiyaning uzluksizlik moduli deb quyidagi tenglik orqali _{ } intervalda aniqlangan haqiqiy _{ } funksiyaga aytiladi: