Funksiyaning uzluksizligi va uzluksizlikslikdan foydalanib limitlarni hisoblash

10.2. Funksiya uzluksizlik modulining xossalari.
_{ } intervalda kamaymovchi funksiya.

_{ } bajarilishi uchun _{ } funksiyaning _{ } da tekis uzluksiz bo’lishi zarur va yetarlidir. Xususiy holda, _{ } kompakt bo’lsa, _{ } ixtiyoriy _{ } uchun bajariladi (isbotlang).

_{ } ­­­– yarim additiv funksiya, ya’ni _{   } uchun

_{ }

Isbot. Faraz qilaylik, _{   }: <sub> 

 </sub> shartga muvofiq _{ } nuqtani tanlab,

_{ }

Bu yerdan _{ }.

Bundan _{   } uchun ravshan _{ } tengsizlik kelib chiqadi. □

_{ } Agar _{ } funksiya _{ } ga tekis uzluksiz bo’lsa, u holda _{ } intervalda uzluksiz funksiyadir.

Isbot. _{ } ning yarim additivlik xossasidan

_{ })

tengsizlik kelib chiqadi (isbotlang). Uzluksizlik modulining _{ } xossasiga ko’ra bu yerdan _{ } xossasining o’rinli ekanligi kelib chiqadi. □

10.3 Uzluksizlik moduli va uning xossalari.

Ta’rif 10.2. _{ } intervalda aniqlangan, _{ } bo’lgan uzluksiz kamaymovchi va yari m additiv _{ } funksiyani uzluksizlik moduli deb ataymiz.

_{ } Agar _{ } uzluksizlik moduli bo’lsa, u holda _{ } ya’ni har bir uzluksizlik modulining o’zi o’zi uchun uzluksizlik moduli bo’ladi.

Isbot. Aytaylik, _{ } U holda _{ } ning yarim additiv va kamaymovchi ekanligidan

ga ega bo’lamiz, bu yerdan esa _{ } ni olamiz. Ammo _{ } bo’lganligidan _{ } . Xossa isbotlandi. □

_{ } Agar kamaymovchi _{ } funksiya _{ } nuqtada uzluksiz va _{ } bo’lsa, hamda _{ } o’smovchi bo’lsa, u holda _{ } uzluksizlik modulidir.

Isbot. _{ } funksiyaning _{ } nuqtada uzluksizligi va _{ } xossadan uning _{ } da uzluksizligi kelib chiqadi. Shuning uchun _{ } funksiyaning yarim additivligini isbotlash xossa isboti uchun yetarli. Buning uchun _{ } ning o’smovchiligidan foydalansak, ixtiyoriy _{ } uchun

.

Xossa isbot bo’ldi. □

Yangi mavzuni mustahkamlash (10 minut): Talabalar bilan mavzu yuzasidan savol-javob o’tkazish, oson yechiladigan misollar so’rash, tushunilmagan tasdiq, teorema va formulalarni qayta izohlash va misollar asosida tushuntirish.

Uy vazifasini berish va baholash (5 minut): Mavzuni o’qish va konspekt qilish, tayanch iboralarni yodlash hamda ma’nosini tushunish, muammoli topshiriqlarga mustaqil javob berishni tayinlash. Dars davomida faol qatnashgan talabalarni ta’kidlash va yanada faolroq bo’lishga chorlash. Qo’yilgan ballarni e’lon qilish.

Kompleks argumentli funksiya tushanchasi. da biror E to’plam berilgan bo’lsin: .

1-ta’rif. Agar E to’plamdagi har bir kompleks songa biror qoida yoki qonunga ko’ra bitta kompleks son mos qo’yilgan bo’lsa E to’plamda funksiya berilgan deb ataladi va u

yoki

kabi belgilanadi. Bunda E funksiyaning aniqlanish to’plami, -erkli o’zgaruvchi yoki funksiya argumenti, esa o’zgaruvchining funksiyasi deyiladi.

Aytaylik,

funksiya biror E ( ) to’plamda berilgan bo’lsin, ya’ni qoidaga ko’ra har bir

songa bitta

son mos qo’yilgan bo’lsin. Demak,

Keyingi tenglikdan

bo’lishi kelib chiqadi.

Demak, E to’plamda funksiyaning berilishi shu to’plamda x va y haqiqiy o’zgaruvchilarning

funksiyaning berilishidek ekan.

Odatda, funksiya funksiyaning haqiqiy qismi, esa ning mavxum qismi deyiladi:



Misol. Ushbu

funksiyaning haqiqiy va mavxum qismlarini toping.

Demak,

Erkli o’zgaruvchi E to’plamda o’zgarganda funksiyaning mos qiymatlaridan iborat to’plam

bo’lsin. Odatda, bu to’plam funksiya qiymatlari to’plami deyiladi.

Demak, E to’plamda funksiyaning berilishi Oxy-kompleks tekislikdagi F to’plamga aks ettirishdan iborat ekan.

Shu sababli funksiyani E to’plamning F to’plamga akslantirish deb ham yuritiladi.

Faraz qilaylik, funksiya to’plamda berilgan bo’lib,

bo’lsin. So’ngra to’plamda o’z navbatida biror

funksiya berilgan bo’lsin. Natijada, E to’plamdan olingan har bir z ga F to’plamda bitta W son ( ) va F to’plamdan olingan bunday W songa bitta son mos qo’yiladi:

Demak, E to’plamdan olingan har bir z ga bitta son mos qo’yilib, funksiya hosil bo’ladi.Bunday funksiya murakkab funksiya deyiladi va

kabi belgilanadi.

funksiya E to’plamda berigan bo’lib, F esa shu funksiya qiymatlaridan iborat to’plam bo’lsin:

F to’plamdan olingan har bir W songa E to’plam bitta z son mos qo’yilishini ifodalovchi funksiya funksiyaga nisbatan teskari funksiya deyiladi va kabi belgilanadi.

Faraz qilaylik funksiya to’plamda berilgan bo’lsin.

2-ta’rif. Agar z argumentning E to’plamdan olingan turli qiymatlarida funksiyaning mos qiymatlari ham turlicha bo’lsa, ya’ni tenglikdan tenglik kelib chiqsa, funksiya E to’plamda bir yaproqli funksiya deyiladi.

Misol. Ushbu

funksiyaning to’plamda bir yaproqli bo’lishini ko’rsating.

Aytaylik, uchun

Demak,

Bu esa berilgan funksiyaning E da bir yaproqli ekanini bildiradi.

Funksiya limiti. Faraz qilaylik funksiya to’plamda berilgan bo’lib, nuqta E to’plamning limit nuqtasi bo’lsin.

3-ta’rif. Agar son uchun shunday son topilsaki, z argumentning 0<|z - |< tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha zE qiymatlarida

tengsizlik bajarilsa, A kompleks son funksiyaning dagi limiti deb ataladi va kabi belgilanadi.

va bo’lsin.

1-teorema: fuktsiyaning da A limitga,

ega bo’lishi uchun

bo’lishi zaur va etarli.

Isbot. Zarurligi. Aytaylik,

bo’lsin. Limit ta’rifiga binoan , olinganda ham  ki, z argumentning 0<|z- |< tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha zE qiymatlarida

tengsizlik bajariladi.

Ravshanki,

bo’lib,

|z - |<

bo’lishidan

bo’lishi kelib chiqadi.