|
2
0
. Funksiya limitining mavjudligi.
Faraz qilaylik,
x
f
funksiya
R
X
to`plamda
berilgan bo`lib,
X
x
x
0
0
,
bo`lsin
0
. Ravshanki,
R
x
0
nuqta
X
to`plamning limit nuqtasi bo`ladi.
1-teorema.
Agar
x
f
funksiya
X
to`plamda o`suvchi bo`lib, u yuqoridan
chegaralangan bo`lsa, funksiya
0
x
nuqtada
)
(
lim
0
0
x
f
x
x
limitga ega bo`ladi.
◄
x
f
funksiya qiymatlaridan iborat bo`lgan ushbu
0
x
x
X
x
x
f
F
to`plamni qaraymiz. Teoremaning shartiga ko`ra bu to`plam yuqoridan chegaralangan bo`ladi. U
holda to`plamning aniq chegarasining mavjudligi haqidagi teoremaga ko`ra
F
tuplam aniq yuqori
chegaraga ega. Uni
b
bilan belgilaymiz:
b
F
sup
.
Endi,
b
x
f
x
x
0
0
lim
bo`lishini isbotlaymiz. Aniq yuqori chegara ta`rifiga ko`ra:
1)
0
x
x
X
x
uchun
b
x
f
;
2)
0
,
:
,
0
0
b
x
f
x
x
x
x
X
x
bo`ladi.
Agar
0
0
x
x
deyilsa, unda
0
0
0
0
,
,
x
x
x
x
x
uchun
b
b
x
f
x
f
b
bo`lib,
b
x
f
tengsizlik bajariladi. Bu esa
b
x
f
x
x
)
(
lim
0
0
ekanini bildiradi.
►
21
Xuddi shunga o`xshash quyida keltiriladigan teorema isbotlanadi.
Aytaylik,
x
f
funksiya
R
X
to`plamda berilgan bo`lib,
X
x
x
0
0
,
bo`lsin
0
. Ravshanki,
R
x
0
nuqta
X
to`plam-ning limit nuqtasi bo`ladi.
2-teorema.
Agar
x
f
funksiya
X
to`plamda kamayuvchi bo`lib, u quyidan
chegaralangan bo`lsa, funksiya
0
x
nuqtada
)
(
lim
0
0
x
f
x
x
limitga ega bo`ladi.
Endi funksiya limitining mavjudligi haqidagi umu-miy teoremani keltiramiz.
Faraz qilaylik,
x
f
funksiya
R
X
to`plamda berilgan bo`lib,
R
x
0
nuqta
X
to`plamning limit nuqtasi bo`lsin.
1-ta`rif.
Agar
0
olinganda ham shunday
0
son topilsaki,
0
0
0
0
\
,
\
x
X
U
x
x
y
X
U
x
x
lar uchun
y
f
x
f
( 1 )
tengsizlik bajarilsa,
x
f
uchun
0
x
nuqtada
Koshi sharti bajariladi
deyiladi.
3-misol.
Ushbu
x
x
x
f
1
sin
)
(
funksiya uchun
0
0
x
nuqtada Koshi sharti bajariladi.
◄Haqiqatan ham,
0
songa ko`ra
2
deyilsa, u holda
)
}
0
{
\
)
0
(
(
),
}
0
{
\
)
0
(
(
2
2
U
X
y
U
X
x
lar uchun (ya`ni
y
x
,
uchun)
2
2
|
|
|
|
|
1
sin
|
|
1
sin
|
|
1
sin
1
sin
|
|
)
(
)
(
|
y
x
y
y
x
x
y
y
x
x
y
f
x
f
bo`ladi.
3-teorema (Koshi).
x
f
funksiya
0
x
nuqtada chekli limit-ga ega bo`lishi uchun bu
funksiya
0
x
nuqtada Koshi shartining bajarishi zarur va etarli.
◄
Zarurligi.
x
f
funksiya
0
x
nuqtada chekli limitga ega bo`lsin:
b
x
f
x
x
)
(
lim
0
.
Limit ta`rifiga binoan:
0
0
\
,
0
,
0
x
x
U
X
x
uchun
2
|
)
)
(
|
b
x
f
(2)
bo`ladi. SHuningdek,
y
X
(U
(x
o
) \ {x
o
}) uchun ham
2
|
)
)
(
|
b
y
f
(3)
bo`ladi. (2) va (3) munosabatlardan
22
y
f
b
b
x
f
y
f
x
f
bo`lishi kelib chiqadi.
Etarliligi.
Aytaylik
x
f
funksiya uchun (1) shart bajarilsin.
0
x
nuqtaga intiluvchi ikkita
,
,
,
2
,
1
,
0
0
X
x
n
x
x
x
x
n
n
n
,
,
,
2
,
1
,
0
0
X
y
n
x
y
x
y
n
n
n
ketma-ketliklarni olamiz. Bu ketma-ketliklardan foydalanib, ushbu
...
,
,
,
...
,
,
,
,
2
2
1
1
n
n
y
x
y
x
y
x
ketma-ketlikni hosil qilamiz. Uni
n
z
bilan belgilaymiz. Ravshanki,
n
z
ketma-ketlik uchun
X
z
n
x
z
x
z
n
n
n
,
,
2
,
1
,
0
0
bo`ladi. Teorema shartiga binoan
0
soniga ko`ra
0
sonni olamiz. Modomiki,
n
da
0
x
z
n
ekan, unda limit ta`rifiga ko`ra:
0
0
0
:
,
,
0
x
z
n
n
N
n
n
bo`ladi. Unda
0
0
,
n
n
n
m
uchun
n
m
z
f
z
f
tengsizlik bajapiladi. Byndan
n
z
f
ketma-ketlikning fyndamental ekanligi kelib chiqadi.
Demak
n
z
f
ketma-ketlik yaqinlashyvchi:
n
da
b
z
f
n
.
Unda
b
x
f
n
,
b
y
f
n
bo`lib, fynktsiya limitining Geyne ta`pifiga binoan
b
x
f
x
x
)
(
lim
0
.
bo`ladi. ►
3
0
. CHeksiz katta va cheksiz kichik fynktsiyalap.
Aytaylik,
x
hamda
x
fynktsiyalap
R
X
to`plamda bepilgan bo`lib,
R
x
0
nyqta
X
to`plamning limit nyqtasi
bo`lsin.
2-ta`pif.
Agap
0
)
(
lim
0
x
x
x
bo`lsa,
x
fynktsiya
0
x
x
da
cheksiz kichik fynktsiya
deyi-ladi.
Masalan,
0
x
da
x
x
sin
fynktsiya cheksiz kichik fynktsiya bo`ladi.
3-ta`pif.
Agap
)
(
lim
0
x
x
x
bo`lsa,
x
fynktsiya
0
x
x
da
cheksiz katta fynktsiya
deyi-ladi.
Masalan,
0
x
da
x
x
1
)
(
fynktsiya cheksiz katta fynktsiya bo`ladi.
CHeksiz kichik hamda cheksiz katta fynktsiyalap cheksiz kichik hamda cheksiz katta
miqdoplap kabi xossalapga ega bo`ladi:
1) CHekli sondagi cheksiz kichik fynktsiyalap yig`indisi cheksiz kichik fynktsiya bo`ladi;
2) CHegapalangan fynktsiyaning cheksiz kichik fynktsiya bilan ko`paytmasi cheksiz
kichik fynktsiya bo`ladi;
23
3) Agap
0
x
x
cheksiz kichik fynktsiya bo`lsa,
)
(
1
x
cheksiz katta
fynktsiya bo`ladi.
4) Agap
x
cheksiz katta fynktsiya bo`lsa,
)
(
1
x
cheksiz kichik fynktsiya bo`ladi.
Mashqlap
1. Ushby
lim
1
n
n
n
x
x
limit bilan aniqlanadigan fynktsiya topilsin.
2. Ushby
2
lim sin(
1)
n
n
limit hisoblansin.
Funksiyalarni taqqoslash
1
0
.
«
O
» va «
o
»
belgilar, ularning xossalari.
Faraz qilaylik,
x
f
va
x
g
funksiyalari
R
X
to`plamda berilgan bo`lib,
0
x
nuqta
X
to`plamning limit nuqtasi bo`lsin.
1-ta`rif.
Agar shunday o`zgarmas
0
C
soni va shunday
0
son topilsaki,
})
{
\
)
(
(
0
0
x
x
U
X
x
uchun
|
)
(
|
|
)
(
|
x
g
C
x
f
tengsizlik bajarilsa, ya`ni
|
)
(
|
|
)
(
|
:
})
{
\
)
(
(
,
0
,
0
0
x
g
C
x
f
x
x
U
X
x
R
C
bo`lsa,
0
x
x
da
x
f
funksiya
x
g
funksiyaga nisbatan
chegaralangan
deyiladi va
x
g
O
x
f
kabi belgilanadi.
Agar
|
)
(
|
|
)
(
|
:
|
|
,
,
,
x
g
C
x
f
d
x
x
R
d
R
C
bo`lsa,
0
x
x
da
x
f
funksiya
x
g
funksiyaga nisbatan
chegaralangan
deyiladi va
yuqoridagidek
x
g
O
x
f
kabi belgilanadi.
Masalan,
0
x
da
x
O
x
2
bo`ladi, chunki
1
,
1
x
da
x
x
2
.
Agar
x
f
funksiya
0
x
nuqta atrofida chegaralangan bo`lsa,
0
x
x
da
1
O
x
f
kabi yoziladi.
Do'stlaringiz bilan baham: |
