|
murakkab funksiya
deyiladi.
Mashqlar
1.
x
f
funksiyaning
R
X
to`plamda quyidan chegaralan-maganligi ta`rifi keltirilsin.
2.
O
nuqtaga nisbatan simmetrik bo`lgan
R
X
to`plamda berilgan har qanday
x
f
funksiya juft va toq funksiyalar yig`indisi ko`rinishida ifodalanishi isbotlansin.
3. Ushbu
1
1
)
(
2
x
x
f
funksiyaning
,
0
X
to`plamda kamayuvchi ekani
isbotlansin.
4. Agar
x
x
f
1
1
)
(
bo`lsa,
)))
(
(
(
x
f
f
f
topilsin.
Elementar funksiyalar
Elementar funksiyalar kitobxonga o`rta maktab matematika kursidan ma`lum. Biz quyida
elementar funksiyalar haqidagi asosiy ma`lumotlarni bayon etamiz.
1
0
. Butun ratsional funksiyalar.
Ushbu
n
n
n
n
x
a
x
a
x
a
x
a
a
y
1
1
2
2
1
0
...
ko`rinishdagi funksiya butun ratsional funksiya deyiladi. Bunda
n
a
a
a
,...,
,
1
0
– o`zgarmas sonlar,
N
n
. Bu funksiya
)
,
(
R
da aniqlangan.
Butun ratsional funksiyaning ba`zi xususiy hollari:
7
a) CHiziqli funksiya.
Bu funksiya
)
0
(
a
b
aх
y
ko`rinishga ega, bunda
b
a
,
o`zgarmas sonlar.
CHiziqli funksiya
)
,
(
da aniqlangan
0
a
bo`lganda o`suvchi,
0
a
bo`lganda kamayuvchi: grafigi tekislikdagi to`g`ri chiziqdan iborat.
b) Kvadrat funksiya.
Bu funksiya
)
0
(
2
a
c
bx
aх
y
ko`rinishga ega, bunda
c
b
a
,
,
– o`zgarmas sonlar.
Kvadrat funksiya
R
da aniqlangan bo`lib, uning grafigi parabolani ifodalaydi.
Ravshanki,
.
4
4
2
2
2
2
a
ac
b
a
b
x
а
c
bx
aх
y
Parabolaning tekislikda joylashishi
a
hamda
ac
b
D
4
2
larning ishorasiga bog`liq bo`ladi.
Masalan,
0
a
,
0
D
va
0
a
,
0
D
bo`lganda uning grafigi 3-chizmada tasvirlangan
parabolalar ko`rinishida bo`ladi.
3-chizma.
2
0
. Kasr ratsional funksiyalar.
Ushbu
m
m
n
n
x
b
x
b
x
b
b
x
a
x
a
x
a
a
y
...
...
2
2
1
0
2
2
1
0
ko`rinishdagi funksiya kasr ratsional funksiya deyiladi. Bunda
n
a
a
a
...,
,
,
1
0
va
m
b
b
b
...,
,
,
1
0
lar o`zgarmas sonlar
N
n
,
N
m
. Bu funksiya
}
0
...
|
{
\
)
,
(
1
0
m
m
x
b
x
b
b
x
X
to`plamda aniqlangan.
Kasr ratsional funksiyaning ba`zi xususiy hollari:
a) Teskari proportsional bog`lanish.
U
)
0
(
const
а
х
х
a
y
ko`rinishga ega. Bu funksiya
}
0
{
\
)
,
0
(
)
0
,
(
R
X
to`plamda aniqlangan, toq funksiya,
a
ning ishorasiga qarab funksiya
)
0
,
(
va
)
,
0
(
oraliqlarning har birida kamayuv-chi yoki o`suvchi bo`ladi (4-chizma).
8
4-chizma
b) Kasr chiziqli funksiya.
U ushbu
d
cх
b
aх
y
ko`rinishga ega. Bu funksiya
)
0
(
\
c
c
d
R
X
to`plamda aniqlangan:
Ravshanki,
.
1
2
c
a
c
d
х
c
ad
bc
d
cх
b
aх
y
Demak,
.
,
,
,
2
c
a
c
d
c
ad
bc
х
y
Uning grafigini
x
a
y
funksiya grafigi yordamida chizish mumkin.
3
0
. Darajali funksiya.
Ushbu
)
0
(
,
x
x
y
a
ko`rinishdagi funksiya darajali funksiya deyiladi.
Bu funksiyaning aniqlanish to`plami
a
ga bog`liq. Darajali funksiya
0
a
, bo`lganda
)
,
0
(
da o`suvchi,
0
a
bo`lganda kamayuvchi bo`ladi.
а
х
у
funksiya grafigi tekislik-
ning
0
,
0
va
1
,
1
nuqtalaridan o`tadi.
4
0
. Ko`rsatkichli funksiya.
Ushbu
х
а
у
ko`rinishdagi funksiya ko`rsatkichli funksiya deyiladi. Bunda
R
a
,
0
a
,
1
a
. Ko`rsatkichli
funksiya
)
,
(
aniq-langan,
R
х
da
0
x
a
;
1
a
bo`lganda o`suvchi;
1
0
a
bo`lganda kamayuvchi bo`ladi.
Xususan,
e
a
bo`lsa, matematikada muhim rol o`ynaydi-gan
х
е
у
funksiya hosil
bo`ladi.
9
Ko`rsatkichli funksiyaning grafigi
Ox
o`qidan yuqorida joylashgan va tekislikning
1
,
0
nuqtasidan o`tadi.
5
0
. Logarifmik funksiya.
Ushbu
x
у
а
log
ko`rinishdagi funksiya logarifmik funksiya deyiladi. Bunda
0
a
,
1
a
.
Logarifmik funksiya
)
,
0
(
da aniqlangan,
х
а
у
funk-tsiyaga nisbatan teskari;
1
a
bo`lganda o`suvchi,
1
0
a
bo`lganda kamayuvchi bo`ladi.
Logarifmik funksiyaning grafigi
Oy
o`qining o`ng tomonida joylashgan va tekislikning
1
,
0
nuqtasidan o`tadi.
6
0
. Trigonometrik funksiyalar.
Ushbu
ecx
y
x
y
ctgx
y
tgx
y
x
y
x
у
cos
,
sec
,
,
,
cos
,
sin
funksiyalar trigonometrik funksiyalar deyiladi.
x
y
x
у
cos
,
sin
funksiyalar
)
,
(
R
da aniqlangan,
2
davrli
funksiyalar
R
х
da
1
cos
1
,
1
sin
1
x
x
bo`ladi. Ushbu
,
tgx
y
funksiya
...
,
2
,
1
,
0
;
2
)
1
2
(
|
\
k
k
x
R
x
R
X
to`plamda aniqlangan
davrli funksiya,
x
x
x
cosec
,
sec
,
ctg
funksiyalar
x
x
x
tg
,
cos
,
sin
lar orqali quyidagicha ifodala-nadi:
x
ecx
x
x
tgx
ctgx
sin
1
cos
,
cos
1
sec
,
1
.
7
0
. Giperbolik funksiyalar.
Ko`rsatkichli
х
e
у
funk-tsiya yordamida tuzilgan ushbu
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
е
е
е
е
е
е
е
е
е
е
е
е
,
,
2
,
2
funksiyalar
giperbolik
(mos ravishda
giperbolik sinus, giperbolik kosinus, giperbolik tangens,
giperbolik katangens
) funksiyalar deyiladi va ular quyidagicha
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
е
е
е
е
cthx
е
е
е
е
thx
е
е
chx
е
е
shx
,
,
2
,
2
belgilanadi.
8
0
. Teskari trigonometrik funksiyalar
. Ma`lumki,
x
y
sin
funksiya
R
da aniqlangan
va uning qiymatlari to`plami
]
1
,
1
[
f
Y
bo`ladi.
Agar
2
,
2
x
bo`lsa, u holda
2
,
2
X
va
]
1
,
1
[
f
Y
to`plamlarning
elementlari o`zaro bir qiymatli moslikda bo`ladi.
x
y
sin
funksiyaga nisbatan teskari funksiya
x
аrc
у
sin
10
kabi belgilanadi.
SHunga o`xshash
ctgx
y
tgx
y
x
y
,
,
cos
funksiyalarga nis-batan teskari
funksiyalar mos ravishda
,
,
,
arccos
arcctgx
y
arctgx
y
x
y
kabi belgilanadi.
Ushbu
x
аrc
у
sin
,
x
аrc
у
cos
,
аrctgx
у
,
аrcctgx
у
funksiya-lar teskari
trigonometrik funksiyalar deyiladi.
Mashqlar
1.
2
x
y
funksiya grafigiga ko`ra
c
bx
ax
y
2
funksiya-ning grafigi chizilsin.
2.
x
y
1
funksiya grafigiga ko`ra
d
cx
b
ax
y
funksiyaning grafigi chizilsin.
Do'stlaringiz bilan baham: |
