Funksiya va uning limiti funksiya tushunchasi 1 Funksiya ta`rifi, berilish usullari

asimp-totik yoyilmasi
deyiladi. 
4
0
. ekvivalentlikdan foydalanib, funksiyalarning limitini topish. e
ndi funksiyalarning 
ekvivalentligiga asoslangan holda funksiyalarning limitini hisoblashda foydalaniladigan 
teoremani keltiramiz. 
2-teorema.
Agar 
0
x
x

da 
 
 
x
f
x
f
2
1
~
, 
 
 
x
g
x
g
2
1
~
bo`lib, ushbu
)
(
)
(
lim
1
1
0
x
g
x
f
x
x


---

26 
limit mavjud bo`lsa, u holda
)
(
)
(
lim
2
2
0
x
g
x
f
x
x

limit ham mavjud va
)
(
)
(
lim
)
(
)
(
lim
1
1
2
2
0
x
g
x
f
x
g
x
f
x
x


bo`ladi. 
◄ Aytaylik, 
0
x
x

da 
 
 
x
f
x
f
2
1
~
, 
 
 
x
g
x
g
2
1
~
bo`lsin. Unda ravshanki, 
0
x
x

da
 
 
 


x
f
o
x
f
x
f
1
1
2


,
 
 
 


x
g
o
x
g
x
g
1
1
2


bo`ladi. Bu munosabatlardan foydalanib topamiz: 
)
(
)
(
lim
))
(
(
)
(
))
(
(
)
(
lim
)
(
)
(
lim
1
1
1
1
1
1
2
2
0
0
0
x
g
x
f
x
g
o
x
g
x
f
o
x
f
x
g
x
f
x
x
x
x
x
x







. ► 
Misol.
Ushbu
2
0
2
cos
cos
lim
x
x
x
x


limit hisoblansin. 
◄ Ravshanki,
2
0
2
0
2
sin
2
3
sin
2
lim
2
cos
cos
lim
x
x
x
x
x
x
x
x





Endi 
)
(
2
3
2
3
sin
x
o
x
x


va 
)
(
2
2
sin
x
o
x
x


bo`lishini e`tiborga olib, topamiz: 
 
 
 
2
3
4
3
lim
2
2
1
2
3
lim
2
2
sin
2
3
sin
2
lim
2
2
2
0
2
0
2
0






















x
x
o
x
x
x
o
x
x
o
x
x
x
x
x
x
x
. 
Demak, 
2
3
2
sin
cos
lim
2
0



x
x
x
x
. ► 
Mashqlar 
1. Aytaylik, 
R
a
a
a
N
n
n


,
,
,
:
2
1

bo`lsin. U holda 


x
da 
 
n
n
n
n
n
n
x
O
a
x
a
x
a
x
a
x








1
2
2
1
1

bo`lishi isbotlansin. 
2. Agar 
0
x
x

da
   
 


x
f
o
x
g
x
f


bo`lsa, 
0
x
x

da
   
 


x
g
o
x
g
x
f



---

27 
bo`lishi isbotlansin. 
3. Agar 
0
x
x

da
 
 
x
g
x
f
1
1
~
,
 
 
x
g
x
f
2
2
~
bo`lsa, 
0
x
x

da
 
 
 
 
x
g
x
g
x
f
x
f
2
1
2
1
~


, 
 
 
 
 
x
g
x
g
x
f
x
f
2
1
2
1
~


, 
munosabatlar o`rinli bo`ladimi?