Фундаментал ечимлар системаси. Режа: Чизиқли алгебраик тенгламалар системаси Кронекер-Копелли теоремаси

3.3. Кронекер-Копелли теоремаси
3.4.-теорема. (Кронекер-Капелли).
(1)-чизиқли тенгламалар системаси биргаликда бўлиши учун асосий матритца билан кенгайтирилган матритцанинг ранги тенг, яъни _{ } бўлиши зарур ва етарли.
Бу теоремадан қуйидаги натижалар келиб чиқади:
1) Агар _{ } бўлса, тенгламалар системаси биргаликда бўлмайди, яъни система ечимга эга эмас;
2)Агар _{ } бўлса (1)-тенгламалар системаси ягона ечимга эга;
3)Агар_{ } бўлса тенгламалар системаси чексиз кўп ечимга эга бўлади.
Агар тенгламалар системаси ечимга эга бўлса, бу система биргаликда дейилади. Агар бу ечимлар ягона бўлса, система аниқланган система дейилади
Енди _{ } бўлган системани қараймиз. Бу ҳолда системага бир жинсли чизиқли тенгламалар системаси дейилади. Ушбу бир жинсли


(5)

система доим биргаликда, чунки В матриса А матрисадан фақат элементлари ноллардан иборат устун билан фарқ қилади, яъни

, .(6)

Шу сабабли _{ } .

А матритца билан В матриса тенг бўлиши учун (5)-тенгламалар системаси доим нолъ ечимга эга, яъни: _{ }. Бу ечимларга тривиал ечимлар дейилади. (5)-бир жинсли система қачон нолмас ечимга эга бўлиши ҳақидаги саволга ушбу теорема жавоб беради.


3.5.-теорема. (1)-тенгламалар системаси нолдан фарқли ечимга эга бўлиши учун А матрисанинг _{ } ранги номаълумлар сони (н) дан кичик бўлиши зарур ва етарлидир:_{ }.


3.6.-натижа. Агар бир жинсли чизиқли тенгламалар системасининг тенгламалари сони м номаълумлар сонин дан кичик бўлса, у ҳолда система нолмас ечимга эга бўлади. Ҳақиқатдан ҳам, _{ }.


3.7.-мисол: Ушбу

система биргаликдами?
Ечиш: Ушбу
_{ } матрисанинг ранги 3 дан ортиқ бўлиши мумкин эмас. Уни элементар алмаштиришлар ёрдамида топамиз.





_{ }.

Ҳосил бўлган эквивалент матрисанинг ранги _{ }, чунки

_{ }.

Демак, А матрисанинг ранги ҳам 3 га тенг: _{ }. Кенгайтирилган матрисанинг рангини ҳисоблаймиз:

Елементар алмаштиришлар бажарамиз:

Еквивалент матриса _{ } рангга эга, чунки

_{ }.


В матритцанинг ранги 4 га тенг: _{ }.Матрисаларнинг ранглари ҳар хил, демек, система биргаликда эмас. Система ечимга эга эмас.