Фундаментал ечимлар системаси. Режа: Чизиқли алгебраик тенгламалар системаси Кронекер-Копелли теоремаси

3.8.-мисол: Ушбу

система биргаликдами?

Ечиш: Ушбу матрисанинг рангини ҳисоблаймиз:








_{ },чунки _{ }. Кенгайтирилган В маритсанининг рангини ҳисоблаймиз:


<sub> 





 </sub>, чунки_{ }. Система биргаликда, чунки _{ }.Ранг номаълумлар сонидан кичик бҳлгани учун система чексиз кҳп эчимга эга. Бу ечимларни топамиз. Учинчи тенглама биринчи ва иккинчи тенгламанинг чизиқли комбинатсияси бўлганлиги учун уни ташлаб юбориш мумкин.
_{ }.


_{ } ва _{ } номаълумлар олдидаги коеффисийентлардан тузилган. Бу номаълумларни тенгликнинг чап қисмида қолдириб, қолган қўшилувчиларни тенгликдан ўнг томонга ўтказамиз:

_{ } ва _{ }“озод номаълум”ларга ихтиёрий қийматларни, масалан, _{ }, _{ } қийматларни берамиз. Система ушбу кўринишни олади.

Бу системани ечиб, _{ } , _{ } ни топамиз. Берилган система чексиз кўп ечимга эга бўлади. Уларни _{ } ва _{ }“озод номаълум”ларга ихтиёрий қийматлар бериш йўли билан аниқлаймиз. Умумий кўринишда бу бундай ёзилади:

3.9.-мисол: Ушбу

система биргаликдами?
Ечиш: Ушбу

_{ } матрисанинг ранги 3 дан ортиқ бўлиши мумкин эмас. Уни элемаентар алмаштиришлар ёрдамида топамиз.








_{ }, чунки
_{ }.
Кенгайтирилган Б матритцанинг рангини ҳисоблаймиз:

Елементар алмаштиришлар бажарамиз:








_{ }.


_{ }, чунки
_{ }.


_{ } бўлганлиги учун система биргаликда, бундан ташқари матритцалар ранги номаълумлар сонига тенг, шу сабабли система биргина ечимга эга. _{ } минор биринчи учта тенглама коеффисиентларидан тузилган, шу сабабли тўртинчи тенглама биринчи учта тенгламанинг чизиқли комбинатсиясидан иборат ва уни ташлаб юбориш мумкин.
Берилган системанинг биринчи учта тенгламасидан тузилган системани ечиб, _{ }, _{ } га тенг.