Фундаментал ечимлар системаси. Режа: Чизиқли алгебраик тенгламалар системаси Кронекер-Копелли теоремаси

3 .Кронекер-Капелли теоремаси.Ушбу
(1)
умумий кўринишдаги,яғни та номағлумли та чизиқли тенгламалар системаси берилган бўлсин.
Берилган система номаълумлари коеффитсиентларидан А матритцани ҳамда бу матритцага озод ҳадлардан тузилган устунни бирлаштириб, иккинчи В матритцани тузамиз, яъни булар ушбу кўринишшда бўлади.
ва


матритцага (1) системанинг матритцаси, матритцага системанинг кенгайтирилган матритцаси дейилади. Қуйидаги теорема ўринли.
1- теорема. (Кронекер-Капелли теоремаси). Чизиқли тенгламалар системасининг биргаликда бўлиши учун система матритцаси нинг ранги система кенгайтирилган матритцасининг рангига тенг бўлиши зарур ва етарлидир.
Исбот. Зарурлиги. (1) система биргаликда бўлсин. унинг ечимларидан бири бўлсин. Бу сонларни системадаги номаълумлар ўрнига қўйиб, та айният ҳосил қиламиз.Бу айниятлар матритцанинг охирги устуни қолган барча устунларининг мос равишда коеффитсиетлар билан кўпайтмасидан олинган йиғиндиси эканлигини кўрсатади. матритцанинг ҳар қандай бошқа устуни матритцага ҳам киради ва шунинг учун у матритцанинг барча устунлари орқали чизиқли ифодаланади. Аксинча, матритцанинг ҳар қандай устуни матритцани ҳам устуни бўлади, яъни бу матритцанинг устунлари орқали чизиқли ифодаланади. Бундан ва матритцаларнинг устунлари системаси ўзаро эквивалент эканлиги келиб чиқади, шунинг учун бу матритцаларнинг ранги бир хил бўлади, яъни келиб чиқади.
Етарлилиги. ва матритцалар бир хил рангга эга бўлсин. Бундан матритца устунларининг исталган максимал чизиқли эркли системаси матритцада ҳам максимал чизиқли эркли система бўлиб қолишлиги келиб чиқади.Шунда қилиб матритца устунлари системаси орқали матритцанинг охирги устуни чизиқли ифодаланади. Демак, шундай сонлар мажмуи мавжуд бўладики, матритцанинг бу сонлар билан кўпайтиришдан олинган устунлари йиғиндиси озод ҳадлардан иборат устунга тенг, яъни сонлар (1) системанинг ечими бўлади, шундай қилиб, ва матритцалар рангларининг бир хилда бўлишидан (1) системанинг биргаликда бўлиши келиб чиқади. Теорема тўлиқ исботланди.
Кронекер-Капелли теоремаси ечим мавжуд эканлигини тасдиқлайди, лекин бу системанинг барча ечимларини амалда топиш учун усулни бермайди. Энди, ихтиёрий чизиқли тенгламалар системасини ечишнинг қуйидаги қоидасини келтирамиз.
матритцанинг ранги матритцанинг рангига тенг бўлиб, бўлсин. Бунда сон матритцанинг чизиқли эркли сатрларининг максимал сонига тенг бўлиб, номаълумлар сонига тенг бўлса, у ҳолда система тенгламалари сони номаълумлари сонига тенг ва унинг детерминанти нолдан фарқли бўлади, бундай системанинг ечими ягона бўлиб уни Крамер қоидаси бўйича топиш мумкин бўлади.
Енди матритцаларнинг ранги номаълумлар сонидан кичик, яъни бўлсин.Бу ҳолда - тартибли минор нолдан фарқли бўлади. Система тенгламаларининг ҳар қайсисида номаълумли ҳадларини тенгламаларнинг ўнг томонига ўтказамиз ва бу номаълумлар учун бирор қийматлари мажмуини танлаб олиб номаълумли та тенгламалар системасини ҳосил қиламиз. Ҳосил бўлган системага Крамер қоидасини қўллаш мумкин ва ягона ечим мажмуи мавжуд бўлади. Система тенгламаларининг ўнг томонига ўтказилган номаълумларни озод номаълумлар деб атаймиз. Чап томондаги номағлумларбош(базис) ўзгарувчилар, Озод номаълумлар учун сонларни ихтиёрий танлаб олишиғиз мумкин бўлганлиги учун ҳосил бўлган системанинг чексиз кўп турлича ечимлари шу йўл билан ҳосил қилинади. Шундай қилиб, бу ҳолда чексиз кўп ечимлар тўпламига эга бўламиз.