Ушбу Ушбу a1, a2, a3, …, an, … (1)

Сонли қаторларни таъриф ёрдамида яқинлашишга текшириш. Мусбат қаторларнинг яқинлашиши

Ушбу

Ушбу

a1, a2, a3 , … , an, … (1)

ҳақиқий сонлар кетма-кетлиги берилган бўлсин.

1-Таъриф. Қуйидаги

a1 + a2+ a3 + … + an +… (2)

ифода қатор (сонли қатор) деб аталади.

(2) қатор қисқача каби белгиланади:

Юкоридаги (1) кетма-кетликнинг a1, a2, a3 , … , an, … элемент-

лари қаторнинг ҳадлари дейилади.

an эса қаторнинг умумий ҳади дейилади. (2) қаторнинг ҳадларидан қуйидаги

an эса қаторнинг умумий ҳади дейилади. (2) қаторнинг ҳадларидан қуйидаги

йиғиндиларни тузамиз. Бу йиғиндилар қаторнинг қисмий йиғиндилари дейилади.

2- Таъриф. Агар n→∞ да (2) каторнинг кисмий йиғиндиларидан иборат {An} кетма-кетлик чекли лимитга эга, яъни

булса, у ҳолда қатор яқинлашувчи дейилади.

Бу лимитнинг қиймати А сон (2) қаторнинг йиғиндиси дейилади

Бу лимитнинг қиймати А сон (2) қаторнинг йиғиндиси дейилади

ва қуйидагича ёзилади

3-Таъриф. Агар n→∞ да (2) қаторнинг қисмий йиғиндиларидан иборат {An} кетма-кетликнинг лимити чексиз бўлса ёки бу лимит мавжуд бўлмаса, у ҳолда (2) қатор узоқлашувчи дейилади.

Мисоллар. 1-мисол. Қуйидаги қаторни яқинлашувчанликка текширинг:

Қаторнинг қисмий йиғиндиси {Sn} ни оламиз:

Берилган қаторни қуйидаги кўринишда ёзиб оламиз:

,
,
,

Таърифга асосан бу қатор яқинлашувчи.

2-Мисол. Геометрик прогрессия a, aq, aq2 , … ,aqn-1, … ҳадларидан тузилган

a+aq+aq2 + … + aqn-1 + …

қаторни қарайлик. Бу қаторнинг кисмий йиғиндисини ёзамиз:

,

Агар | q | < 1 бўлса,

Агар | q | < 1 бўлса,

бўлади. Демак, бу ҳолда геометрик қатор якинлашувчи ва унинг йиғиндиси сонга тенг.

Агар |q| > 1 бўлса, бўлиб, қатор узоқлашувчи бўлади.

Агар q =1 бўлса, да бўлиб, қатор узоқлашувчи,

q < — 1 бўлганда эса {An} кетма- кетлик лимитга эга эмас. Демак, бу ҳолда

ҳам қатор узоқлашувчи бўлади.

•  

Мусбат қаторларнинг яқинлашиши

Мусбат қаторларнинг яқинлашиши

Ҳадлари манфий бўлмаган қаторлар мусбат қаторлар дейилади.

Ушбу мусбат

(3)

қатор берилган бўлсин, яъни an ≥0 (n=1, 2, 3 … ). Бу ҳолда равшанки

An+1=An+an+1≥An

Яъни ўзгарувчи An–ўсувчидир.

Теорема. Мусбат (3) қатор доимо йиғиндига ега: агар қаторнинг хусусий йиғиндилари юқоридан чегараланган бўлса йиғинди чекли, (қатор яқинлашувчи), акс ҳолда йиғинди чексиз( қатор узоқлашувчи ) бўлади.

Гармоник қаторлар

қаторни олайлик. Бу қатор гармоник қатор деб аталади. (Маълумки, агар 0≠aєR, 0≠bєR сонлар учун

қаторни олайлик. Бу қатор гармоник қатор деб аталади. (Маълумки, агар 0≠aєR, 0≠bєR сонлар учун

тенглик ўринли бўлса, с сон а ва b сонларнинг ўрта гармоник киймати дейилади. Берилган (3) қаторнинг иккинчи ҳадидан бошлаб, хар бир ҳади ўзига бевосита қўшни бўлган икки ҳадининг ўрта гармоник қийматини ташкил этади. (3) каторнинг гармоник деб аталиши ҳам шундан келиб чиққан). (3) қаторнинг биринчи 2k та (k є N) ҳадидан тузилган қисмий йиғиндисини оламиз:

Энди ушбу

... ... ... ... ... ... ... ...

.

... ... ... ... ... ... ... ...

... ... ... ... ... ... ... ...

... ... ... ... ... ... ... ...

... ... ... ... ... ... ... ...

... ... ... ... ... ... ... ...

тенгсизликларни эътиборга олсак, унда

тенгсизлик ўринли бўлиши келиб чиқади. Равшанки, {A2k} кетма-кетлик ўсувчи. Демак, . Шундай қилиб, гармоник қатор узоклашувчи.

.

Умумлашган гармоник қаторлар

(4)

кўринишдаги қатор умумлашган гармоник қатор дейилади. Бу ерда k – исталган ҳақиқий сон.

k=1 бўлган ҳолини юқорида кўрдик.

k<1 бўлганда кўрилаётган қаторнинг ҳадлари (4) қаторнинг тегишли ҳадларидан катта бўлганлиги сабабли қисмий йиғиндилари юқоридан чегараланмаган шунинг учун бу қатор узоқлашувчи.

k>1 ҳолини қарайлик. Ушбу ифодани олайлик:

бўлганда

(5)

+
=
,
.

(5) ни n=2, 4, 8, 16, … қийматларни қўямиз.

(5) ни n=2, 4, 8, 16, … қийматларни қўямиз.

n=2:

n=4:

n=6:

…

Юқоридаги натижалардан фойдаланиб қаторни қуйидагича ёзиб оламиз.

;

Қуйидаги қатор геометрик прогрессиянни ташкил этади:

Демак

қатор чегараланганлиги учун яқинлашувчи бўлади.