From Vikipediya Jump to navigationJump to search

8.2-расм. Иссиқлик ўтказувчанликнинг дифференциал тенгламасига
доир. Декарт (а) ва цилиндрик (б) координаталарда

Тенгламани келтириб чиқаришда қуйидаги шартлар қабул қилинади: жисм бир жинсли ва изотроп; унинг физик параметрлари ўзгармас. Энергиянинг сақланиш қонунига асосан, жисмнинг элементар ҳажмига  вақт ичида ташқаридан иссиқлик ўтказувчанлик йўли билан келтирилган dQ₁ иссиқлик миқдори ва ички иссиқлик манбаи томонидан ажралиб чиқаётган иссиқлик миқдори dQ₂ йиғиндиси жисмнинг ички энергиясининг ўзгаришига тенг бўлиши керак dQ=dU:
dQ₁+dQ₂=dQ (8.9)
Бу тенглама ъадларини Декарт координата тизимида аниқлаш учун жисмда томонлари dx, dy, ва dz бўлган параллелепипед ажратиб оламиз (8.2-расм).
Бу ерда dQ_х, dQ_y, dQ_z – олиб келтирилаётган иссиқлик. dQ_x+dx, dQ_y+dy, dQ_z+dz – олиб кетилаётган иссиқлик. У ҳолда dydz қирра учун Фурpе қонунига (8.5) асосан:

Бу катталиклар фарқи параллелепипедда қолаётган иссиқлик миқдорини беради:

Худди шундай боьланишни қолган икки қирра учун келтириб чиқариш мумкин. У ҳолда жисмга келтирилган ва унда қолган умумий иссиқлик миқдори қуйидагига тенг бўлади:

Агар ички иссиқлик манбаининг солиштирма иссиқлик унумдорлигини q_v(Ж/м³) орқали белгиласак:
dQ₂=q_v dxdydzd бўлади.
d вақт ичида жисмнинг ички энергиясининг ўзгариши

dQ₁, dQ₂ ва dQ ларни (8.9) тенгламага қўйиб, баoзи ўзгартиришлардан сўнг қуйидагини ҳосил қиламиз:

ёки

бу ерда - температура ўтказувчанлик коэффициенти;
- Лаплас оператори.
У ҳолда, иссиқлик ўтказувчанлик дифференциал тенгламасини қуйидагича ифодалаш мумкин:
(8.11)
Цилиндрик координаталар тизимида (8.2-расм, б) (8.11) тенглама қуйидаги кўринишга эга бўлади.
(8.12)
бу ерда r – радиус вектор;  - бурчак.
Стационар ҳолат учун t/=0, у ҳолда (8.11) тенгламани қуйидагича ёзиш мумкин:
(8.13)
Ички иссиқлик манбаи бўлмаса:
Стационар ҳолатда ²t=0 (8.14)
Ностационар ҳолатда t/=a²t (8.15)
(8.11) ва (8.12) тенгламалар, иссиқлик ўтказувчанлик жараёни рўй бераётган жисмнинг исталган нуқтасидаги температуранинг вақт ва фазовий ўзгаришлари орасидаги боьланишни белгилайди.
Иссиқлик ўтказувчанликни дифференциал тенгламаси (Фурpе тенгламаси) иссиқлик ўтказувчанлик усули билан иссиқлик узатилишини энг умумий ҳолда ёритади.
Бу тенгламани аниқ бир ҳоллар учун қўллашда, вақтнинг бошланьич пайтида жисмда температуранинг тақсимланишини ва бошланьич шартларни билиш зарур.
Бундан ташқари қуйидагилар маълум бўлиши керак: жисмнинг геометрик шакли ва ўлчами, муҳит ва жисмнинг физик параметрлари, жисм сиртида температуранинг тақсимланишини белгиловчи чегара шартлари.
Юқоридаги барча хусусиятлар дифференциал тенглама билан биргаликда аниқ бир иссиқлик ўтказувчанлик жараёнларини тўлиқ ёритади ва бир хиллилик шартлари ёки чегара шартлари деб айтилади. Одатда, температуранинг бошланьич тақсимоти =0 вақт учун берилади.
Чегара шартлари уч хил усулда берилиши мумкин. Чегара шартларининг биринчи турида температуранинг жисм сиртида тақсимоти вақтнинг исталган ҳар қандай пайти учун берилади.
Чегара шартларининг иккинчи турида вақтнинг ҳар қандай исталган пайти учун жисм сиртидаги ҳар қайси нуқтада иссиқлик оқимининг зичлиги берилади.
Чегара шартларининг учинчи турида жисмни ўраб турган муҳит температураси ва жисм сирти билан атроф муҳит ўртасидаги иссиқлик бериш қонуниятлари берилади.
Иссиқлик ўтказувчанликнинг дифференциал тенгламасини бир хиллилик шартлари асосида ечиш, жисмни бутун ҳажми бўйича вақтнинг исталган пайтида температура майдонини аниқлаш имконини беради.