Fizika-matematika fakulteti ko‘p o‘zgaruvchili funksiya ekstremumini mavjudligining zaruriy va yetarli sharti. Shartli ekstremum

Kurs ishining dolzarbligi: Matematik analiz oily matematikaning fundamental bo’limlaridan biri bo’lib, matematikaning poydevori hisoblanadi. Ma’lumki, matematik analiz kursi davomida ko’pgina tushuncha va tasdiqlar, shuningdek, ularning tasdiqlari keltiriladi va mutaxassislar tayyorlash, barkamol avlodni shakllantirish muammosi bilan uzviy bog’liqMamlakatimizning barcha jabhalarida amalga oshirilayotgan keng ko’lamli islohotlar, huquqiy demokratik davlat va erkin fuqarolik jamiyatini qurish zamirida, avvalombor, inson manfaatlari, uning intelektual salohiyatini yuzaga chiqarish, kasb mahoratini oshirish uchun zarur shart - sharoit vazifalari mujassam. Bu borada barkamol avlodni tarbiyalash, umumta’lim maktablari, oliy va o’rta maxsus ta’lim sohasida yuqori malakali kadrlarni tayyorlash, ilm-fan, ta’lim hamda ishlab chiqarish o’rtasidagi o’zaro hamkorlikni yanada rivojlantirishga alohida e’tibor qaratilmoqda.
O’quv jarayonida samaradorlikka erishish uchun zamonaviy ilg’or pedagogik texnologiyalar, noan’anviy dars usullari va o’zaro faol o’quv jarayonini tadbiq qilish lozim. O’zaro faol usullarni o’quv jarayoniga qo’llash uchun esa o’tiladigan mavzuni talabalar, o’quvchilar o’zlari mustaqil tayyorlab kelishlari talab etiladi. Jarayonning samaradorligini oshirish maqsadida innovatsion usullarni qo’llashda endi biz – pedagoglar “O’quvchilarni o’qitmaymiz, balki kitobni o’qishga o’rgatamiz” shiorini amalga oshiramiz. Buning sababi shundaki, agarda talaba va o’quvchilar darsga tayyor holda kelmasalar, hech qanaqa faol usuldan samarali foydalanib bo’lmaydi. Natijada o’qituvchi yana o’z-o’zidan an’anaviy shaklda dars o’tishga to’g’ri keladi.
I.BOB Ko’p o’zgaruvchili funksiya ekstremumlari
1.1 Funksiyaning o‘zgarmaslik sharti. O‘sishi va kamayishi
1-teorema. f(x) funksiya (a,b) da differensiallanuvchi bo‘lsin. Shu intervalda f(x) funksiya o‘zgarmas bo‘lishi uchun f’(x)=0 bo‘lishi zarur va yetarli.
Isboti. Zarurligi ravshan. Chunki funksiya o‘zgarmas bo‘lsa, barcha nuqtalarda f’(x)=0 bo‘ladi.
Yetarliligi. Shartga ko‘ra f(x) funksiya (a,b) intervalda differensiallanuvchi, ya’ni x(a;b) uchun chekli f’(x) hosila mavjud va f’(x)=0. Endi x₁2 bo‘lgan x₁,x₂(a;b) nuqtalarni olaylik. Qaralayotgan f(x) funksiya [x₁;x₂] kesmada Lagranj teoremasining barcha shartlarini qanoatlantiradi. Demak, (x₁;x₂) intervalga tegishli shunday s nuqta topilib,
f(x₂)-f(x₁)=f’(c)(x₂-x₁) (1)
tenglik o‘rinli bo‘ladi. Teorema shartiga ko‘rax(a;b) uchun f’(x)=0, bundan f’(c)=0, va (1) tenglikdan f(x₂)-f(x₁)=0 ekanligi kelib chiqadi.
Shunday qilib, f(x) funksiyaning (a;b) intervalning istalgan ikkita nuqtasidagi qiymatlarining o‘zaro teng. Demak, funksiya o‘zgarmas bo‘ladi.
Bundan integral hisobda muhim rol o‘ynaydigan quyidagi natija kelib chiqadi.
Natija. Agar f(x) vag(x) funksiyalar (a,b) da chekli f’(x) va g‘(x) hosilalarga ega bo‘lib, shu intervalda f’(x)=g‘(x) tenglik o‘rinli bo‘lsa, u holda f(x) bilan g(x) funksiyalar bir-biridan o‘zgarmas songa farq qiladi:
f(x)=g(x)+C, C=const.
Haqiqatan ham, shartga ko‘ra(f(x)-g(x))’=C’=0. Bundan 1-teoremaga asosanf(x)-g(x)=C, ya’ni f(x)=g(x)+C tenglik o‘rinli ekanligi kelib chiqadi.
Misol. Funksiyaning o‘zgarmaslik shartidan foydalanib
sin²x= (1-cos2x) formulaning o‘rinli ekanligini isbotlang.Yechish. Quyidagi funksiyani qaraymiz: f(x)=sin²x+ cos2x, bu funksiya (-;+) da aniqlangan, differensiallanuvchi va hosilasi aynan nolga teng: f’(x)=2sinxcosx-sin2x=0. Funksiyaning o‘zgarmaslik shartiga ko‘ra
sin²x+ cos2x=C
o‘rinli. C ni aniqlash uchun x argumentga qiymat beramiz, masalan x=0 bo‘lsin. U holda C= va
sin²x+ cos2x= yoki sin²x= (1-cos2x) bo‘ladi.