Физика курси I

I
'
I/
бунда интеграллаш жисмнинг бутун ҳажмидаги элементар массалар 
(йт) бўйича амалга оширилади. йт га тенг элементар массанинг 
ҳажми йУ эканлигидан ва зичликнинг таърифидан йт = рйУ ни ҳосил 
киламиз; натижада (9.10) куйидаги кўринишни олади:
1 = р \ ? й У . 
(9.11)
V
Энди, баъзи жисмларнинг инерция моментларини акс эттирувчи 
ифодани топайлик. Радиуси /? га тенг юпка деворли (ковак) 
цилиндрнинг симметрия ўки ( 0 0 ') га нисбатан инерция моментини 
топиш учун унинг деворларини 0 0 ' ўкка параллел бўлган п та энсиз 
бўлакчаларга 9.6-расмда кўрсатилгандек фикран бўлиб чикамиз. 
Цилиндрнинг девори юпка бўлганлиги туфайли ҳар бир энсиз 
бўлакча 0 0 ' ўкдан бир хил масофада жойлашган деб ҳисоблаш 
.мумкин. /-бўлакчанинг массасини Дт, деб белгиласак, унинг ОО' 
ўкка нисбатан инерция моменти
/, = Ат,/?2 
'
бўлади. Юпка цилиндрнинг ўша ўкка нисбатан инерция моменти эса 
куйидагича ифодаланади:
1 = 1 Ат,1^ = Я:2 1  Дт, = т /? 2, 
(9.12)
I 
1
бунда 2 Дт, = т — юпка цилиндрнинг массаси. Энди радиуси /? ва 
1
баландлиги Н бўлган бир жинсли яхлит цилиндрнинг симметрия ўкига 
нисбатан инерция моментини акс эттирувчи ифодани топайлик. 
Бунинг учун цилиндрни радиуси г ва деворининг калинлиги йг бўлган 
ичма-ич жойлашган цилиндрларга фикран бўлиб чикайлик (9.7-расм- 
да шундай цилиндрдан биттаси тасвирланган). Бундай цилиндрнинг 
ҳажми
йУ = 2пгйг • Н.
Охирги формулани 
(9.11) 
га кўйиб ва ичма-ич жойлашган 
цилиндрларнинг радиуслари 0 дан /? гача ўзгаришини назарда тутиб, 
куйидагини ҳосил киламиз:
к 
к
/ = р ^ г^лгйг • Н = 2лрН ^ г 3йг = ^-прНК*.
0 
0
Бу формуланинг ўнг томонидаги л/?2Л — яхлит цилиндрнинг ҳажми 
ва пҒсНр = т унинг массаси эканлигини эътиборга олсак, бир жинсли 
яхлит цилиндрнинг (шунингдек, бир жинсли дискнинг) симметрия
167
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

ўқига (9.7-расм, ОО' ўқ) нисбатан инерция моменти қуйидагича 
ифодаланади:
(9.13)
Узунлиги /о ва массаси т бўлган бир жинсли ингичка таёкчанинг 
бир учидан унга тик равишда ўтувчи ўкка нисбатан (9.8-расм) 
инерция моментини топиш учун уни кичик узунликдаги бўлакчаларга 
фикран бўлиб чикамиз. Бир жинсли таёқчанинг узунлик бирлигига 
тўғри келувчи массаси т/1о бўлганлиги учун, й1 узунликдаги 
бўлакчанинг массаси
йт =  у й1
10
Ьт--------------
- --------- и --------- -
9.8-р а с м
бўлади; бу бўлакчанинг 0 0 ' ўкка нисбатан инерция моменти
й1 = 12с1т = ~ 1 2й1 
'о
муносабат билан ифодаланади. Таёкчанинг 0 0 ' ўққа нисбатан 
инерция моментини топиш учун охирги формулани 0 дан /0 гача 
интеграллаймиз:
1 ^ й / = ~  } Р й 1 = \т 1 1  
*о у  
3
(9.14)
Шу таёкчанинг ўртасидан унга тик равишда ўтувчи ўкка нисбатан 
инерция моменти
1 = ~
тЧ  
(9.15)
эканлигини ҳисоблаш қийин эмас. Шунингдек, радиуси Я ва массаси 
т бўлган бир жинсли шарнинг унинг марказидан ўтувчи ўкка нисба- 
тан инерция моменти
/ = | т / ? 2 
(9.16)
формула билан ифодаланади.
168
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

(9.12) — (9.15) ифодаларни такқослаб шундай хулосага кела- 
мизки, жисмларнинг инерция моментлари айланиш ўкига нисбатан 
улар массасининг таксимотига (массанинг ўкка нисбатан жойлаши- 
шига) боғлик катталик экан.
Ҳозиргача биз жисмларнинг инерция моментларини уларнинг 
масса марказидан ўтувчи ўкка нисбатан аниқладик. Масса 
марказидан ўтмаган бошқа ўкка нисбатан жисмнинг инерция 
моменти эса масса марказидан ўтган ўққа нисбатан аникланган 
инерция моментидан фарк қилади, чунки ўкнинг вазияти ўзгариши 
билан жисм массасининг ўққа нисбатан нисбий жойлашиши ҳам 
ўзгаради. Шунинг учун жисмнинг масса маркази (С нукта, 9.9-расм)
I 0'
оркали ўтмаган ўққа (масалан, 0 0 ' ўкка) нисбатан инерция 
моментини аниқлашда Ш т е й н е р (1796—1863, Швейцария олими! 
т е о р е м а с и д а н фойдаланилади: ихтиёрий ўққа нисбатан жисм- 
нинг инерция моменти (I) ўша ўққа параллел равишда мас> а 
маркази орқали ўтувчи ўққа нисбатан аниқланган инерция моменти 
( 1С) важисм массаси (т) билан ўқлар орасидаги масофа (д) квадра- 
тининг кўпайтмаси тарзида аниқланадиган катталик йиғиндисига 
тенг:
I = 1С + т ё2: 
(9.17)
9.3-§. УҚ АТРОФИДА АЙЛАНУВЧИ ЖИСМНИНГ ҲАРАКАТ ТЕНГЛАМАСИ
Бирор қўзғалмас ўқ (айтайлик, 1 ўк) атрофида ўзгармас бурчак 
тезлик (ш) билан айланма ҳаракат қилаётган каттик жисмни олиб 
карайлик ва уни массалари Ат, бўлган п та майда бўлакчаларга 
фикран шундай бўлиб чикайликки, уларнинг ҳар бирини моддий 
нукта деб караш мумкин бўлсин. Ҳар бир бўлакчадан айланиш 
ўқигача бўлган энг якин масофани г, билан белгиласак (9.5-расмга
169
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

қ.), қаралаётган қаттиқ жисмнинг айланиш ўқига нисбатан импульс 
моменти (5.6) га кўра
=
= 2 4ш,у,г, 
(9.18)
I
тарзда ифодаланади; бунда о, — массаси Дт, бўлган бўлакчанинг 
чизиқли тезлиги. Қаттиқ жисм бирор ўқ атрофида айланаётганда 
массалари Дт, бўлган унинг ҳар бир майда бўлакчаси (шунингдек, 
унинг ҳар бир нуқтаси)нинг траекторияси айланиш ўқига тик 
жойлашган текисликларда ётувчи ва радиуслари г, бўлган айла- 
налардан иборат бўлади (9.10- расм). Ҳар бир бўлакчанинг чи- 
зиқли тезлиги (1.35)га кўра айланиш радиусига мутаносиб, яъни 
у ,= шг,. Бунга асосан (9.18)ни қуйидагича ёзамиз (&) = сопз(): 
£г = о)2 Ат,г?. (9.9) га биноан 2 А ж и с м н и н г айланиш ўкига
I 
(
нисбатан инерция моментини ифодалайди. Натижада, охирги тенглик