Режа: Система ҳаракатининг дифференциал тенгламалари. Массалар марказининг ҳаракати ҳақидаги теорема. Массалар марказининг ҳаракатини сақланиш қонуни. Система ҳаракатининг дифференциал тенгламалари

Система массалари марказининг харакати хақидаги теорема

Режа:

1. 
   Система ҳаракатининг дифференциал тенгламалари.
   
2. 
   Массалар марказининг ҳаракати ҳақидаги теорема.
   
3. 
   Массалар марказининг ҳаракатини сақланиш қонуни.
   

Система ҳаракатининг дифференциал тенгламалари.
N-та моддий нуқталардан ташкил топган, механик системани олиб кўрамиз ва унда ихтиёрий m_k -массали нуқтани ажратиб оламиз. Шу моддий нуқтага таoсир этувчи барча ташқи (актив ва реакция) кучларнинг тенг таoсир этувчисини - билан, ички кучларнинг тенг таoсир этувчисини эса -билан белгилаймиз. Агар моддий нуқтанинг шу кучлар таoсиридаги тезланиши _k- бўлса, динамиканинг асосий қонунига кўра m_{k k}= + бўлади. Худди шундай натижаларни ҳар бир нуқта учун ёзишимиз мумкин. Демак, бутун механик система учун, шундай тенгламаларни ёзиб чиқсак,
(13)
(13) тенгламалар, механик система ҳаракатининг вектор формадаги дифференциал тенгламалари деб аталади (бу ердаги _k= = ) . Ушбу тенгламаларнинг ўнг томонидаги кучлар, умумий ҳолда, вақтга, система нуқталарининг координаталарига ва уларнинг тезликларига боғлиқ равишда ўзгарувчи қийматлар бўлишлари мумкин.
(13) тенгликларни бирорта координата ўқларига проекцияласак, система ҳаракатининг шу ўқдаги дифференциал тенгламасини оламиз.
Механик система динамикасининг асосий қонунини тўлиқ ечимини олиш учун, берилган кучлар ва уларга қўйилган боғланишлар маoлум бўлса, тегишли дифференциал тенгламаларни интеграллаш орқали системанинг ҳар бир нуқтасининг ҳаракат қонунини аниқлашдан иборат бўлади. Бундай масаланинг аналитик ечимини аниқлаш айрим ҳоллардагина амалга оширилиши мумкин, нуқталар сони кўп бўлса ёки тенгламалар мураккаб бўлган ҳолларда улар компғютерлар ёрдамида ечилади.
Лекин аксарият конкрет масалаларни ечишда, системанинг айрим нуқталарининг ҳаракат қонунларини аниқлаш талаб этилмайди, балки бутун механик системанинг умумий характеристикаларини аниқлаш билан кифояланилади. Масалан, кривошип-шатунли механизмнинг унга қўйилган кучлар таoсиридаги (§57 даги 158 шакл) ҳаракатини аниқлаш учун, кривошипнинг айланиш қонунини аниқлаш кифоя қилади, яҳни бурилиш бурчаги  -нинг вақт t-га боғлиқ функциясини аниқлаш кифоя қилади.
Амалда, бундай ечимларни аниқлаш учун (13) формуладан фойдаланилмайди, балки динамикада ишлаб чиқилган бошқа усуллардан фойдаланилади. Булар қаторига, инженерлик амалиётида кенг қўлланиладиган система динамикасининг умумий теоремалари киради. Бу усуллар асосан (13) формула орқали келтириб чиқилган бўлиб, ушбу ва кейинги учта бобларда кўриб чиқилади.
Лекин, биз ҳозир системанинг дифференциал тенгламалари орқали, изланаётган натижанинг бевосита эффектив ечимини аниқлашга оид масалани кўриб чиқамиз.


283 шакл.
122 масала. Тебранишларни динамик сўндиргичи. Пружинага маҳкамланган 1-юк, x -ўқидаги проекцияси Q_x=Q₀sinрt бўлган қўзғатувчи -куч таoсирида мажбурий тебранма ҳаракат қилмоқда (§96 га қаранг).
Ушбу тебранишларни сўндириш учун, 1 -юкка қаттиқлиги с₂ -бўлган пружина орқали массаси m₂-бўлган юк уланган бўлса, шу 2-юкнинг ва 2-пружинанинг характеристикалари аниқлансин (283 шакл).
Е ч и ш. Вертикал бўйича юқорига қаратиб х -ўқини ўтказамиз ва юкларнинг статик мувозанат ҳолатидан бошлаб, уларнинг х₁ ва х₂ -координаталарини аниқлаймиз. У ҳолда оғирлик кучи, эластиклик кучлари F_1ст=с₁_1ст ва F_2ст=с₂_2ст - билан мувозанатлашади ва улар ҳаракат тенгламаси (§94 даги 112 масалага қаранг)дан чиқариб ташланади. Эластиклик кучларининг ҳисобга олинадиган қисмлари эса, пружиналарнинг статик мувозанат ҳолатига нисбатан узайишларига пропорционал бўлади. Узайишлар тегишли равишда ₁=х₁ ва ₂=х₂ бўлади ва 2-юкка ₂(F_2x=-c₂₂) -эластиклик кучи, 1 -юкка эса = ₂ , эластиклик кучи ₁(F_1x=-c₁₁) ва қўзғатувчи кучлари таoсир этмоқда. Натижада, юкнинг ҳаракатини қуйидаги дифференциал тенгламасини тузамиз,
m_{1 1}= -c₁x₁+c₂(x₂-x₁)+Q₀sinрt, m_{2 2}=-c₂(x₂-x₁).
1-юк тебранишининг сўниши учун, х₁=0 бўлиши шарт. У ҳолда
с₂x₂+ Q₀sinрt=0 ва m_{2 2}=-c₂x₂.
Биринчи тенгламадан, х₂=-(Q₀/c₂) sinрt ва ₂=р²(Q₀/c₂)sinрt бўлади. Буларни иккинчи тенгламага қўйсак, натижада
m₂р₂=с₂
эканлигини аниқлаймиз. Ушбу тенглик, мажбурий тебранишлар таoсиридаги 1-юкнинг тебранишларини сўндирувчи шартдан иборат бўлиб, m₂ ёки c₂.-қийматлардан бирини танлаб олинади, иккнчиси эса шу тенглама орқали аниқланади. Албатта, 2-юкнинг массаси m₂- ни кичикроқ олиш маoқулроқ ҳисобланади, лекин берилган р -га боғлиқ ҳолда с₂-нинг қиймати ҳам кичкина бўлиб қолади, бу эса ўз ўрнида 2-юкнинг амплитудаси Q₀/c₂-нинг катталашиб кетишига, яҳни салбий (ёмон) оқибатларга олиб келиши мумкин.