Режа: Система ҳаракатининг дифференциал тенгламалари. Массалар марказининг ҳаракати ҳақидаги теорема. Массалар марказининг ҳаракатини сақланиш қонуни. Система ҳаракатининг дифференциал тенгламалари

Массалар марказининг ҳаракати ҳақидаги теорема.
Айрим ҳолларда, механик система (айниқса қаттиқ жисм) ҳаракатининг характерини аниқлаш учун, унинг массалар марказининг ҳаракатини аниқлаш лозим бўлади. Ушбу қонуниятни аниқлаш учун, (13) дифференциал тенгламалар системасини ўнг ва чап томонларини ҳадма-ҳад қўшамиз. Натижада
m_{k k}= + (14)
Тенгламанинг чап тарафига ўзгартиришлар киритамиз. Радиус-вектор учун (1’) формуладан масса марказини аниқлаймиз,
m_{k k}=М _С
Тенгликнинг иккала томонидан вақт бўйича икки марта ҳосила олсак ва йиғиндининг ҳосиласи ҳосилаларнинг йиғиндисига тенг эканлиги сабабли,
m_{k =}М
ёки
m_{k k}=М _С (15)
бу ердаги _С- массалар марказининг тезланиши. Ички кучларнинг хоссасига асосан  =0 бўлади, натижада (15) эoтиборга олсак (14) тенглама қуйидаги кўринишга келади,
М _С= (16)
(16) тенглама, система массаларининг марказини ҳаракати ҳақидаги теоремани ифодалайди: системанинг массасини унинг масса марказини тезланишига кўпайтмаси, системага таoсир этувчи ташқи кучларнинг геометрик йиғиндисига тенг экан (16) тенгламани, моддий нуқтанинг ҳаракатини дифференциал тенгламаси [§74 даги (2) формула] билан солиштириш натижасида, ушбу теореманинг бошқача ифодасини аниқлаймиз: системанинг массалари маркази, массаси системанинг массасига тенг бўлган ва системага қўйилган барча ташқи кучлар таoсиридаги моддий нуқта каби ҳаракатда бўлар экан.
(16) тенгликнинг иккала томонини координата ўқларига проекцияласак,
М _с= , М _с= М _с= (16’)
Ушбу тенгламалар, масса маркази ҳаракатининг дифференциал тенгламасини декарт координата ўқларидаги проекцияларидан иборат.
Юқорида исбот қилинган теореманинг моҳияти қуйидагича:
1.Теорема нуқта динамикасининг усулларига асос бўлиб хизмат қилади. (16’) тенгламалардан кўриниб турибдики, жисмни моддий нуқта деб ҳисоблаб, ушбу тенгламаларни ечиш натижасида шу жисмнинг масса марказини ҳаракатини аниқлар эканмиз, яҳни муқим (конкрет) мазмунга эга экан.
Хусусий ҳолда, агар жисм илгариланма ҳаракатда бўлса, масса марказининг ҳаракати жисмнинг ҳаракатини тўлиқ равишда ифодалайди. Шундай қилиб, илгариланма ҳаракатдаги қаттиқ жисмни, массаси системанинг массасига тенг бўлган моддий нуқта деб ҳисоблаш мумкин экан. Жисмнинг ҳаракатини унинг масса марказини ҳолатини билиш кифоя қилган ҳолларда ёки масаланинг шартига кўра айланма ҳаракатни эoтиборга олинмайдиган ҳолларда ҳам, жисмни моддий нуқта деб ҳисоблаш мумкин бўлади.
2. Ушбу теорема орқали, бизга номалум бўлган ички кучларни эoтиборга олмаган ҳолда масса марказиннг ҳаракатини аниқлаш мумкин экан. Теореманинг амалий моҳияти шулардан иборат.