Физика курси I

V 2 / с 2
Зарранинг 
(жисмнинг) 
кинетик 
энергиясини 
ифодаловчи
(7.52) 
муносабат кенг камровли маънога эга бўлиб, кичик 
тезликларда у кинетик энергиянинг Ньютон механикасидаги шаклини 
олади. Бунга ишонч ҳосил килиш учун 
(7.52) формуладаги
1 / д / *—Ц2/^2 нисбатни Тейлор каторига ёямиз:
V 1 - с2 / с2
- [ '- а л ч-
1
+Кт)+
1
(т),+ --
Кичик ( и < с ) тезликларда в/с  нисбатнинг тўртинчи, олтинчи ва 
ҳоказо даражалари 1 га нисбатан жуда кичик сонни ташкил 
этганликлари туфайли, уларни ҳисобга олмасдан, мазкур каторнинг
140
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

дастлабки икки ҳади билан чегараланамиз. У ҳолда (7.52) формула 
Ньютон механикасидаги Ек = т с2/ 2 шаклни олади. Жуда катта 
тсзликларда 
эса 
зарранинг 
(жиемнинг) 
кинетик 
энергияси
(7.52) формула билан ифодаланади.
7.10-§. ТУЛИҚ ЭНЕРГИЯ. ЭНЕРГИЯ БИЛАН ИМПУЛЬС ОРАСИДАГИ БОҒЛАНИШ
Юқорида биз ((7.52) формулага қ.) релятив зарранинг кинетик 
энергиясини:
тс2
(7.53)
тарзда ифодалаган эдик; бу ерда т — зарранинг массаси, V — унинг 
К санок тизимига нисбатан тезлиги. Кўриниб турибдики, зарранинг 
кинетик энергияси иккита катталикнинг айирмаси шаклида ифода 
қилинаяпти, яъни бу тенгликни:
Ек = Е — Ео ёки Е = Ек -\-Ео 
(7.54)
кўринишда ёзиш мумкин. Охирги тенгликда Ек — зарранинг кинетик 
энергияси бўлганлиги учун Ео катталик ҳам энергия маъносига эга. 
Бу формулада Е иккита энергиянинг йиғиндисидан иборат бўлиб, 
у зарранинг тўлиқ энергиясини ифодалайди. (7.54) даги белги- 
лашларга кўра зарранинг тўлиқ энергияси қуйидагига тенг:
Е =
(7.55)
(7.53) ва (7.54) тенгликлардан
Ео = тс2 
(7.56)
эканлиги кўриниб турибди. Бу катталикнинг физикавий маъносини 
аниқлайлик: зарранинг тўлиқ энергиясини ифодаловчи (7.55) тенг- 
ликдан шу хулоса келиб чиқадики, агар зарра тинч ҳолатда бўлса, 
(унинг тезлиги у = 0 бўлса) Е = Ео = тс2 бўлади. Шунинг учун ҳам
(7.56) 
формула билан ифодаланган энергия тинч ҳолатдаги 
жисмнинг (зарранинг) энергияси дейилади. Тинч ҳолатдаги жисм- 
нинг энергияси унинг ички энергиясини ифодалайди. Баъзан бу 
энергияни жисмнинг хусусий энергияси деб ҳам юритилади. 
Зарранинг тинч ҳолатдаги энергиясини акс эттирувчи (7.56) ифода 
жисмлар тизими учун ҳам ўринлидир: жисмлар тизимининг тинч 
ҳолатдаги энергияси мазкур тизим таркибидаги жисмлар (зарра- 
лар)нинг тинч ҳолатдаги энергиялари, уларнинг инерция (масса) 
марказига нисбатан ҳаракатидаги кинетик энергиялари ва бу 
жисмлар (зарралар)нинг ўзаротаъсир энергияларининг йиғиндисига 
тенг. Тинч ҳолатдаги энергияга ташқи майдон (гравитация майдони, 
электр майдон ва ҳоказо) томонидан жисмга таъсир этувчи куч билан 
боғлиқ бўлган потенциал энергия кирмайди.
Шуни таъкидлаш лозимки, Ньютон механикасида тўлиқ энергия 
деганда зарранинг (жисмнинг) кинетик ва потенциал энергиялари-
141
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

нинг йиғиндиси тушунилади. Релятив механикада эса тўлиқ 
энергия— зарранинг (жисмнинг) кинетик энергияси билан унинг 
тинч ҳолатдаги энергиясининг йиғиндисидан иборат.
Тўлиқ энергия Е ва импульс р зарранинг тезлигига боғлик кат- 
таликлар бўлганлиги учун бир инерциал санок тизимидан иккинчиси- 
га ўтганда уларнинг кийматлари ўзгаради, яъни мазкур катталиклар 
алоҳида-алоҳида олинганда улар Лоренц алмаштиришларига нисба- 
тан инвариант эмас. Лекин Е ва р ларнинг ўзаро боғланишини 
ифодаловчи катталик инвариант катталик эканлигига куйидаги 
мулоҳазаларга кўра ишонч ҳосил килиш мумкин. Зарранинг мос 
равишда тўлик энергияси ва импульсини ифодаловчи
тс2 
.
Л/1-у2/ ^ ’
(а)
тенгликлардан
Р
ти
"\/ I — V2/
(б)
(7.57)
эканлиги келиб чиқади. Энди (а) тенгликни квадратга кўтариб, 
тезлик (ц) ўрнига унинг (7.57) даги кийматини қўйсак, куйидагига 
эга бўламиз:
Е2 — р2с2 = т2с4 =  
1
пу
. 
(7.58)
Бу тенгликнинг ўнг томонидаги зарранинг массаси 
(т) 
ва 
ёруғликнинг вакуумдаги тезлиги (с) инвариант катталиклардир. 
Бундан зарранинг тўлиқ энергияси (Е) ва импульси (р)ни боғловчи 
(7.58) муносабат Лоренц алмаштиришларига нисбатан инвариант 
катталик эканлиги келиб чикади. Кўпинча мазкур инвариант 
катталик куйидагича ифодаланади:
~ — р2 = т2 с2 = \пу. 
(7.59)
<г
Юқоридаги тенгликнинг Лоренц алмаштиришларига нисбатан 
инвариант эканлиги яна шундан ҳам маълумки, бу тенглик зарранинг 
тезлигига боғлиқ эмас. Демак,
Е2
катталик бир инерциал санок тизимидан иккинчисига ўтилганда бир 
хил (яъни т2с2) қийматга эга.
7.11-5. ЛОРЕНЦ АЛМАШТИРИШЛАРИГА НИСБАТАН ИНВАРИАНТ КАТТАЛИКЛАР
Бир инерциал саноқ тизимидан иккинчисига ўтилганда физикавий 
катталикларнинг кийматлари ўзгаради — жисмнинг координатала- 
ри, тезлиги ва вақт оралиғи шулар жумласидандир. Шу билан бирга
142
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

шундай катталиклар ҳам борки, уларнинг қийматлари бир инерциал 
санок тизимидан иккинчисига ўтилганда ўзгармайди. Маълумки, 
бундай катталиклар Лоренц алмаштиришларига нисбатан инвариант 
(ўзгармайдиган) катталиклар дейилади. Улар куйидагилардир:
1 . 
Е р у ғ л и к н и н г в а к у у м д а г и т е з л и г и (с) барча инерци- 
ал санок тизимларида бир хил кийматга эга.
2. Ж и с м н и н г
( з а р р а н и н г )
м а с с а с и бир инерциал 
санок тизимидан иккинчига ўтилганда ўзгармайди (кейинги вактлар- 
да «релятив масса» тушунчаси ишлатилмаяпти).
3. Жисм кайси санок тизимида тинч турган бўлса, унинг хусусий 
вакти у билан бирга ҳаракатланаётган (бошка инерциал санок 
тизимига нисбатан) соат воситасида ўлчанади. Шу боисдан, 
жисм ҳаракатининг жадаллигини ифодаловчи в а к т о р а л и ғ и
&т = А1\' 1 — V2/ ?
Лоренц алмаштиришларига нисбатан инвариант катталиқдир; бу 
формулада А( — ҳаракатдаги жисмга нисбатан шартли равишда 
тинч ҳолатда бўлган санок тизимида (Қ санок тизимида) ўлчанган 
вакт оралиғи.
4. В о қ е а л а р о р а л и ғ и ( и н т е р в а л ) — релятив механика- 
даги асосий инвариантлардан ҳисобланади. Вокеалар оралиғи 
( 5 )
нинг квадрати Қ ва Қ' санок тизимларида куйидагича 
ифодаланади:
5 2 =