Физика курси I

зарранинг ҳаракат тенгламасини ифодалайди. Бу тенглама Лоренц 
алмаштиришларига нисбатан инвариант тенгламадир.
Агар вакт ўтиши билан зарра импульсининг ўзгариш конуни 
маълум бўлса, заррага таъсир этувчи кучнинг ўзгариш конунини 
релятив динамиканинг асосий тенгламаси (7.39) дан аниклаш 
мумкин. Иккинч^ томондан, бошланғич шартлар (зарранинг бош- 
ланғич тезлиги и0 ва вазияти г0) берилган бўлса ва заррага таъсир
этувчи куч маълум бўлса, унинг ҳаракат тенгламасини топиш мумкин.
Кўриниб турибдики, кичик тезликларда (о<Сс ва с г / с 2 = 0) 
релятив зарранинг ҳаракат тенгламаси Ньютон механикасидаги 
жисмнинг ҳаракат тенгламаси кўринишини олади.
Маълумки, Ньютон механикасида заррага (жисмга) таъсир 
этувчи куч инвариант катталикдир. Релятив механикада эса бир 
инерциал санок тизимидан иккинчисига ўтганда кучнинг киймати ва 
йўналиши ўзгаради; бундан ташкари куч йўналиши билан тезланиш 
векторининг йўналишлари бир тўғри чизикда ётмайди. Бу натижалар 
релятив механикада куч инвариант катталик эмаслигини кўрсатади. 
Лекин бир инерциал санок тизимидан иккинчисига ўтилганда 
алмаштириш коидалари куч учун ўзига хос конуниятлар воситасида 
амалга оширилади.
7.*- §. ҲАРАКАТ ТЕНГЛАМАСИНИНГ ЛОРЕНЦ АЛМАШТИРИШЛАРИГА 
НИСБАТАН ИНВАРИАНТЛИГИ
7.6- § да фазода кетма-кет содир бўлган икки вокеа оралик 
(интервал) тушунчаси оркали ифодаланган эди. Ораликнинг асосий 
хусусиятларидан бири шундан иборатки, у Лоренц алмаштиришлари- 
га нисбатан инвариант катталикдир, яъни
с2 А/2 — (Ал/ -+- А у2 + Аг2) = & А/72 — (Ах/2 + А у'2 + Аг'2).
Бу тенгликни
(Ад/ + А у2 + А
2
2) — ^ А ^ ^ ^ Д ^ + А ^ + Д г ' 2) -с*А1'2
тарзда ёзсак ҳам унинг Лоренц алмаштиришларига нисбатан 
инвариантлиги сакланади. Сўнгра, тўрт ўлчовли фазода —с2 ўрнида 
Цс)2 ни ёзиш мумкин (бу ерда / = у — 1— мавҳум 
бирлик). 
У 
ҳолда юқоридаги тенгликни куйидагича ёзиш мумкин:
Ах? + Ау2 + Дг2 + (гс)2А/2 = Ал:,2 + Ау/2 + А
2
,2+ Цс)2А/"2 . 
(7.40)
Одатдаги уч ўлчовли фазода зарранинг (нуктанинг) вазияти 
радиус-вектор г воситасида берилади ва у координата ўкларидаги 
ташкил этувчилари оркали г = х / + г / / +
2
Й тарзда ифодаланади. 
Тўрт ўлчовли фазода зарранинг вазияти радиус-вектор /? 
билан
белгиланади ва у ўзининг ташкил этувчилари оркали куйидагича 
аникланади:
/? = XI + у / + г £ + / с 1е 
(7.41)
136
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

бу ерда е — бирлик вектор бўлиб, у с1 координата ўқи бўйлаб 
йўналган (7.41) тенгликда шу нарса мухимки, тўртта координата 
ўқлари Цс1, X, У, 1) бир-бирига нисбатан тик йўналган деб тасаввур 
қилинади ва бу тенгликдаги биринчи учта ҳад /? векторнинг фазо- 
вий ташкил этувчиларини, тўртинчи ҳад (Ш) эса унинг вақт бўйича 
ташкил этувчисини ифодалайди. Оралиқ 
( 5 )
Лоренц алмаштиришла- 
рига нисбатан инвариант катталик бўлганлиги туфайли радиус- 
вектор /? ҳам мазкур алмаштиришларга нисбатан инвариантдир, 
яъни
XI -\-у) -\-гк-\~1с1е = х'I + « / ' / + г'к-\- 1с1'е 
(7.42)
ёки
К = К '.
Биз текшираётган зарра Қ' саноқ тизимига нисбатан тинч ҳолатда 
бўлсин; /ў^тизим (зарра билан бирга) ўз навбатида Қ саноқ тизимига 
нисбатан 
V
тезлик билан ҳаракатланаётган бўлсин. (7.35) ифодага 
кўра Қ санок тизимидаги вақт оралиғи Ш ва Қ' даги вақт оралиғи йт 
орасида куйидаги муносабат мавжуд:
Ш _______1
Л ~ V 1 — у2 /с2 '
(7.42) 
тенглик зарранинг тўрт ўлчовли фазодаги вазиятини 
аниқлаганлиги туфайли мазкур тенгликнинг зарра хусусий вакти (т) 
бўйича дифференциали тўрт ўлчовли фазода унинг Қ' тизимдаги 
тезлигини ифодалайди:
ц ' = - ~ - = -~р- Цс('е-\-х
'1
 -\-у' / -\-г'к) =1се ;
бу тўрт ўлчовли фазодаги тезлик дунёвий тезлик деб аталади. Демак, 
зарра тинч ҳолатда бўлган К' санок тизимида дунёвий тезлик 
куйидагига тенг:
и' =
1
се , 
(7.43)
чунки зарра тинч турган санок тизими учун 
ва 
ҳоси-
лалар нолга тенг. (7.43) дан кўринадики, и' векторнинг квадрати 
— с2 га тенг — бир инерииал саноқ тизимидан иккинчисига ўтганда 
унинг киймати ўзгармайди, бинобарин, дунёвий тезлик Лоренц 
алмаштиришларига нисбатан инвариант катталикдир.
Шартга кўра Қ санок тизимига нисбатан зарра 
V
тезлик билан 
ҳаракатланади ва бунда унинг тезлиги:
Бу формуладаги йҚ /й1 муносабат (7.41) ифодани I бўйича 
дифференциаллаш йўли билан топилади; й1 /йт эса (7.35) га асосан
137
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

1 / д/ 1 — \ ? / га тенг. Шундай қилиб, зарранинг К тизимдаги 
тезлиги учун куйидагига эга бўламиз:
сШ 
1 
__/ Лх -т . <1у -т . й г 
т \
______
I
_______ |______
1
се
Л(
д /
1
_ / / /
\
Ш
Л( * 
Л( 
' ^ ] \ — V2 /
у
] \
—
V2
/ с 2
ЯЪНИ
и
V
V I - / / /
1
се
V I - / / /
иг + и ,.
(7.44)
Охирги тезликнинг ўнг томонидаги биринчи ҳад Қ тизимда 
дунёвий тезликнинг фазовий ташкил этувчисини ифодалайди, 
иккинчи ҳад эса унинг вакт бўйича ташкил этувчисидир. Демак, 
дунёвий тезлик вектори (а)нинг фазовий ташкил этувчиси (и,) ре- 
лятив зарра ҳаракати тенгламаси
■ р
__ 
Л /
те
~
V V I - / / /
даги V /  'у 1—/ / / нисбатга тенг 
(т — инвариант катталик). 
Бинобарин, охирги тенгликни куйидагича ёзиш мумкин:
Ғ
а
<и
(тиг).
Бу тенгликни зарранинг хусусий вакти йх оркали ифодаласак 
((7.35) г., к ), у
Ғ = л]\ — и'2/с'2~ ( т и Г) 
(7.45)
кўринишни олади. Бу ерда иг — тўрт ўлчовли фазода зарра 
тезлигининг фазовий ташкил этувчиси бўлганлиги туфайли (7.45) да-
ги ~ (тиг) муносабат шу тўрт ўлчовли фазода заррага таъсир этувчи 
куч ({) нинг фазовий ташкил этувчисини ифодалайди:
1= ,{т (тйг). 
(7.46)
Т кучни унинг фазовий ва вакт бўйича ташкил этувчилари оркали 
куйидагича ифодалаймиз:
Т=Т + Т<=-£ (тйг + тй,). 
(7.47)
(7.46) ни эътиборга олинса (7.45) тенгликни куйидагича ёзиш 
мумкин:
Ғ =  V 1 — / / / •I ■
(7-48)
Зарра тинч ҳсшатда бўлган К' санок тизимида \ кучнинг фазовий 
ташкил этувчилари Цгх+, !ги-Т, 1гГ-к) уч ўлчовли фазодаги
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

Т
кучнинг мос ташкил этувчилари билан айнан бир хилдир. К санок 
тизимида эса /> ва Т орасидаги боғланиш (7.48) муносабат билан 
аниқланади. Шундай килиб, тўрт ўлчовли фазода релятив зарранинг 
ҳаракат тенгламаси ((7.47) га қ.)
(ти) 
(7.49)
тарзда ифодаланади ва у Лоренц алмаштиришларига нисбатан 
инвариантдир.
7.9-§. ИШ ВА КИНЕТИК ЭНЕРГИЯ
Ньютон механикасида куч Ғ нинг заррани йг га кўчиришда 
бажарган элементар иши:
йА = Ғйг.
Зарранинг кўчиши йг = дй( эканлигини эътиборга олсак бу иш
йА = Ғ о й ( 
(7.50)
бўлади. Зарра кинетик энергиясининг релятив механикадаги ифода- 
сини топиш учун релятив зарранинг ҳаракат тенгламасидан 
фойдаланамиз (яъни (7.39) тенгламага асосан (7.40)ни қуйидагича 
ёзамиз):
йА = Ғг> й( = о^ - ( — ти=. . \ й(.
Ғ куч й( вақт давомида зарра устида йА иш бажарса, зарранинг 
кинетик энергияси йЕк га ўзгаради, яъни Ғ кучнинг бажарган иши
(6.6)га асосан зарранинг кинетик энергиясининг ўзгаришига тенг 
бўлади:
йА = йЕ ,.
Бинобарин:
й Е к = д ± - ( - - ™
- \ й ( = у й ( —
)
V V*
- »
2
/с2 )
Охирги тенгликнинг ўнг томонидаги дифференциал ишораси остидаги 
нисбат икки функциянинг (яъни то ва 1 / ^ / 1 —и2 /с2 нинг) кўпайт- 
маси эканлигини назарда тутган ҳолда уни дифференпиаллаймиз:
йЕ„ = ь