Fizika” kafedrasi 5140200 – Fizika ta’lim yo’nalishi bo’yicha bakalavr darajasini olish uchun Mo’minova Zarina Xudayberdi qizi

I.2. Fermi-gaz modeli

Yadroni tashkil qilgan nuklonlar spinga ega va Fermi-Dirak statistikasiga bo’ysunadi. Mazkur modelda yadroni tashkil qilgan har bir zarra yadroning boshqa nuklonlari tomonidan hosil qilingan o’rtacha maydonda deyarli mustaqil harakat qiladi deb hisoblanadi. Mustaqil harakat deganda zarraning yadro ichidagi o’rtacha erkin yugurish yo’li yadroning diametriga yaqin bo’ladi. O’zaro kuchli ta’sirlashadigan nuklonlar deyarli o’zaro ta’sirlashmaydigan zarralardan tashkil topgan gaz deb qabul qilish mumkin. Yadrodagi nuklonlar fermion bo’lib, bir vaqtning o’zida bir xil harakatga ega bo’la olmaydi, ya’ni aynan bir holatda, bir energetik sathda spin yo’nalishlari bilan farq qiladigan faqat ikki proton yoki ikki neytron bo’lishi mumkin xolos. Mikrozarralarning Pauli prisipiga amal qiluvchi va hamma pastki sathlarni to’liq to’ldiruvchi bunday sistemani aynigan Fermi-gaz modeli deb ataladi. Aynigan Fermi-gaz modeli nuklonlar o’rtasida kuchli o’zaro yadro ta’siri bo’lishiga qaramasdan nuklonlarning to’qnashuvi ta’qiqlanadi va ular xuddi o’zaro ta’siri juda kichik bo’lgandagidek, o’zlarini erkin tutadilar. Aslida esa qandaydir bitta nuklon ikkinchisi bilan to’qnashuvi va o’zining energiya va impulsning bir qismini ikkinchi nuklonga berishi mumkin. Bu holda ikki nuklon bo’shroq va yuqoriroq sathga o’tishi mumkin. Birinchi nuklon esa energiyasi pastroq sathga o’tadi. Ammo patgi sathlar Pauli prisipiga asosan band bo’ladi. Bu shuni ko’rsatadiki, birinchi va ikkinchi nuklonlar orasida to’qnashuv bo’lmaydi, Pauli prinsipi to’qnashuvni ta’qiqlaydi. Shuning uchun yadroning barcha nuklonlari Pauli prinsipiga ko’ra yadroning o’rtacha maydoni hosil qilgan potensial o’rada eng pastki sathdan tortib, Fermi energiyasi sathigacha bo’lgan sathlarni ketma-ket egallaydi.

(1.2.1)
kvant mexanikasida impulsning fazosida holatlar zichligi

* (1.2.2)
р dan р+dр impulsli nuklonlar
(1.2.3)
A ta nuklon uchun
A= (1.2.4)
Maksimal impuls
(1.2.5)
Yadro nuklonlari noldan boshlab Fermi energiyasigacha bo’lgan sathlarni egallaydi. Uyg’ongan holatlar energiyasi energiyaning ana shu qiymatidan boshlab hisoblanadi.

Proton va neytronlar uchun Fermi impulse

, (1.2.6)
Kinetik energiyasi
MeV. (1.2.7)
Agar proton va neytron massalari orasidagi kichkina farqni hisobga olmasak, yadro barqaror bo’lishi uchun eng yuqori proton va neytron holatlarning energiyalari bir xil bo’lishi kerak. Og’ir yadrolarda neytronlar soni protonlar soniga qaraganda ancha kattadir (I.2.1-chizma).



I.2.1-chizma. Yadrodagi proton (Z) va neytron (N) gazlari uchun cheklangan to’g’ri burchakli potensial o’raning sxemasi. Protonlar Kulon kuchlari ta’sirida o’zaro itariladi. Simmetriya buziladi. Proton va neytronlar har birining o’z o’ralari bo’adi. Bunda E nuklonlar bog’lanish energiyasining qiymati, - Fermi sathi, - Kulon energiyasi.
Yadroda tortuvchi markaz bo’lmasada, nuklonlarning o’zaro tortishishi natijasida ular sistemaning inertsiya markazi atrofida to’plangan bo’ladi. Bunda yadroning siqilishiga nuklonlarning yaqin masofalarda o’zaro itarilish ta’sirlari qarshilik qiladi.

Radiusi R = 1,2 fm bo’lgan sfera deb qaraladigan yadroning hajmini nuklonlarning umumiy hajmi bilan taqqoslasak, ularning taxminan tengligini ko’ramiz, chunki nuklon radiusi -1 fm. Demak, yadroda harakatlanadigan har bir nuklon unga yaqin nuklonlarning tortishish kuchlari ta’sirida bo’ladi va yadrodan chiqib keta olmaydi. Shunday qilib, yadroda tortuvchi markaz bo’lmasada, nuklonlarning o’zaro tortilishi natijasida ular sistemaning inersiya markazi atrofida to’plangan bo’ladi. Bunda yadroning siqilishiga nuklonlarning yaqin masofalarda o’zaro itarilish ta’sirlari qarshilik qiladi.

Agar yadrodagi nuklonlar harakatining real ta’sirini vaqtincha soddalashtirib, nuklonlararo kuchlar nuklonlarni yadro hajmida faqat ushlab turadi deb hisoblasak, u holda yadro strukturasini tasvirlash masalasi alohida sathlar yoki nuklonlar harakatlanadigan orbitalarning energiyalari va boshqa xarakteristikalarini aniqlashdan iborat bo’ladi. Buning uchun bir nuklonning to’lqin funksiyasi uchun Shredinger tenglamasini yechish kerak. Bu tenglamada potensial energiya operatori yoki potensial yadroda ma’lum sondagi nuklonni ushlab turishni ta’minlash lozim. Boshqacha aytganda, potensial chuqurlik yetarli darajada chuqur va keng bo’lishi kerak. Shunday bo’lganda Pauli prinsipiga ko’ra yadrodagi nuklonlar joylashadigan manfiy energiyali sathlar (bog’langan holatlar) soni ko’p bo’ladi. Empirik ma’lumotlar va nazariy mulohazalar shunday potensial chuqurlik mavjudligini ko’rsatadi.

Yadrolarning asosiy holatlarida nuklonlar eng pastkisidan boshlab to Fermi sathi (to’ldirilgan oxirgi sath) gacha bo’lgan energiya sathlarini to’la to’ldirib borish kerak. Shunda yadro minimal energiyaga ega bo’ladi. Sathdagi nuklonlar soni atom fizikasidan ma’lum bo’lgan qoidaga o’xshash usulda topiladi.

Yadro strukturasining bayon etilgan sodda tasviri mustaqil zarralar modelining o’zidir. Chunki nuklonlarni o’rta maydon sathlari bo’yicha qayta taqsimlashga olib keluvchi o’zaro ta’sir effektlari bu yerda hisobga olinmaydi. Nuklonlararo kuchlarning yagona effekti nuklonlarni yadroda ushlab turuvchi o’rta o’zaro muvofiqlashgan maydonning paydo bo’lishidir. Bu effektni hisobga olish modelning asosini tashkil etadi. Ma’lumki, nuklonlar jufti (pp, pn, nn) o’rtasida katta kuchlar mavjud. Ular ta’sirida nuklonlar harakatida paydo bo’lishi kerak. Masalan, qandaydir energiya intervalida bo’lgan orbitalar bo’yicha harakatlanayotgan ikkita nuklon o’zaro tortishish ta’sirida yaqinlashishiga, ya’ni umumiy orbitaga o’tishga intiladi. Lekin ular biror oraliq orbitaga yoki ulardan birining orbitasiga o’tib ololmaydi, chunki orbitalarning hammasi nuklonlar bilan band va Pauli prinsipi ham bunga imkon bermaydi. Shunga asosan ko’rilayotgan bu juft nuklonlar o’z orbitalaridan chiqib, Fermi sathidan yuqori joylashgan band bo’lmagan orbitaga o’tib, bir-birlariga yaqinlashishi mumkin. Quyi orbitalarda bo’sh o’rin yoki “teshiklar” ning, yuqori orbitalarda zarralarning paydo bo’lishi sistemaning to’la energiyasini oshirishi kerak. Ammo energiyaga manfiy hissa qo’shuvchi nuklonlar orasidagi tortishish energiya ortishini to’la qoplaydi. Natijada yadroda nuklonlarning sathlar bo’yicha taqsimoti mustaqil zarralar modelidagi kabi aniq chegaraga ega bo’lmaydi. Ularning bir qismi Fermi sathidan yuqoridagi sathlarda joylashishi mumkin. Shu vaqtning o’zida bu sathdan pastda xuddi shuncha “teshik” paydo bo’ladi, ya’ni pastki sathlarning bir qismi to’lmagan bo’ladi. Shunday qilib, nuklonlar harakatidagi korrelyatsiyalar ta’sirida Fermi chegarasining keskinligi yo’qoladi, chegara “yuvilib” ketadi. Bu yuvilish darajasi yoki zarralarning Fermi sathidan pastki sathlardan yuqoriroq sathlarga o’tish ehtimolligi Fermi sathi bilan navbatdagi sath orasidagi energiya intervaliga juda bog’liq. Eksperimental ma’lumotlar majmuasi va nazariy baholashlarning ko’rsatishicha , bu interval katta bo’lgan hollarda yadroni potensial chuqurlikdagi energiya sathlarini Fermi sathigacha to’ldiradigan nuklonlar sistemasi deb tasavvur qilish, yadrodagi nuklonlar harakatining real tasviriga ancha yaqin bo’lgan birinchi yaqinlashish bo’ladi. Bu hol “sehrli” yadrolarda kuzatiladi.