|
Tekislikning kesmalar bo’yicha tenglamasi. (3) tenglamada koeffitsientlar hammasi 0 dan farqli bo’lsa, tekislik koordinat o’qlaridan , va kesmalar ajratadi(2-chizma). (3) tenglamani quyidagicha o’zgartiramiz:
.
Oxirgi tenglamada
, ,
belgilash kritsak,
tenglama kelib chiqadi. Bu tenglamaga fazoda tekislikning kesmalarga nisbatan tenglamasi deyiladi.
2-misol. Tekislikning umumiy tenglamasi berilgan, bu tekislikni yasang.
Yyechish. Tenglamani tekislikning kesmalarga nisbatan tenglamasiga keltiramiz:
.
2-chizma 3-chizma
Oxirgi tenglamadan ma’lumki, tekislik koordinat o’qlaridan mos ravishda 6, 2, 3 kesmalar ajratadi. Bu kesmalarning oxiridan tekislikni o’tkazamiz (3-chizma).
Berilgan uchta , va nuqtalardan o’tuvchi tekislik tenglamasi
(4)
ko’rinishda bo’lib, uchta vektorning komplanarligidan kelib chiqadi. tekislikdagi ixtiyoriy nuqta. vektorlar komplanardir.
2.5. . Ikki tekislik orasidagi burchak. Nuqtadan tekislikkacha masofa.
tekisliklar orasidagi burchak ularning normal va vektorlari orasidagi burchakka teng bo’lib,
(5)
formula o’rinli bo’ladi. (5) ga ikkita tekislik orasidagi burchak kosinusini topish formulasi deyiladi.
va normal vektorlar kollinear bo’lsa,
bo’lib, bu ikki tekislikning parallellik sharti deyiladi..
va normal vektorlar perpendikulyar bo’lsa,
bo’lib, bu ikki tekislikning perpendikulyarlik sharti bo’ladi. nuqtadan tekislikkacha bo’lgan masofa
(6)
formula bilan topiladi.
3-misol. va tekisliklar orasidagi burchakni toping.
Yyechish. va mos ravishda berilgan tekisliklarning normal vektorlari bo’lganligi uchun (5) formulaga asosan,
bo’ladi.
4-misol. va tekisliklarning parallelligini ko’rsating va ular orasidagi masofani toping.
Yyechish. Berilgan tekisliklarning normal vektorlari va parallellik shartini qanoatlantiradi, demak berilgan tekisliklar ham paralleldir. Endi birinchi tekislikda biror nuqtani aniqlab undan ikkinchi tekislikkacha bo’lgan masofani topamiz. bo’lsa, birinchi tekislik tenglamasidan bo’lib, nuqta birinchi tekislikdagi nuqta bo’ladi. (6) formulaga asosan,
.
Demak, parallel tekisliklar orasidagi masofa bo’ladi.
2.6. Fazoda tekislikning turli ko`rinishdagi tenglamalari. Nuqtasi va normal vektori bilan berilgan tekislik tenglamasi
R3 fazoda to`g`ri burchakli koordinatalar sistemasi tanlangan bo`lib, a radius vektor berilgan bo`lsin. a radius vektor oxiridan vektorga yagona mumkin bo`lgan perpendikulyar tekislik (T) o`tkazilgan, M(x, y, z) nuqta tekislikning ixtiyoriy nuqtasi va 0M = r(x, y, z) nuqtaning radius vektori bo`lsin.
|a| = P, vektorning birlik vektori, , β va γ a yoki ν vektorning koordinata o`qlarining musbat yo`nalishi bilan hosil qilgan burchaklari bo`lsin (1-rasm).
cos α, cos β va cos γ a yoki ν vektorning yo`naltiruvchi kosinuslari deyiladi. Har qanday r vektorning ν vektordagi sonli proeksiyasi P ga teng:
Pr ν r = (r, ν) = P (P ≥ 0) (1)
(1) tenglamaga T tekislikning vektor shakldagi tenglamasi deyiladi. Vektor tenglama koordinatalarda
x cos α +y cos β + z cos γ = P (P ≥ 0) (2)
1-rasm. 2-rasm.
ko`rinishda yoziladi. (2) tenglama tekislikning normal shakldagi teng-lamasi deyiladi. Agar (2) tenglamani noldan farqli biror-bir songa ko`-paytirsak, tenglamaga teng kuchli
A x + B y + C z + D = 0 (A2 + B2 + C2 ≠ 0) (3)
ko`rinishdagi tenglamani olamiz. (3) tenglamaga T tekislikning umumiy ko`rinishdagi tenglamasi deyiladi.
Har qanday (3) ko`rinishdagi tenglamani (2) normal shakldagi teng-lamaga keltirish mumkin. Buning uchun umumiy tenglamani normallovchi ko`paytuvchi ga ko`paytirish yetarli. P= -μ D ning nomanfiyligini ta`minlash maqsadida “+” yoki “–” ishoralaridan ozod had D ishorasining qarama-qarshisi tanlanadi. Natijada
μ A x + μ B y + μ C z = P ( P ≥ 0 )
Bu yerda, (μA)2 + (μB)2 + (μC)2 = 1 munosabat o`rinli bo`lib, ν = (μA, μB, μC) vektorning birlik vektor va uning koordinata o`qlaridagi sonli proektsiyalari, mos ravishda quyidagilarga
μ A = cos α, μ B = cos β, μ C = cos γ
tengligini payqash qiyin emas.
Agar tekislik umumiy ko`rinishdagi tenglamasi bilan berilgan bo`l-sa, tenglama shaklidan tekislikning o`zi haqida quyidagilarni aniqlash mumkin: 1) agar D = 0 bo`lsa, A x + B y + C z = 0 tekislik koordinata boshidan o`tadi; 2) N = (A, B, C) vektor T tekislikka perpendikulyar, ya`ni tekislikning normal vektoridir, chunki u ν = (μA, μB, μC) vek-torga kollinear: μΝ = ν.
Umumiy tenglamaning xususiy hollarini tahlil qilish mumkin. Agar C = 0 bo`lsa, Ax + By + D = 0 tenglama bir tomondan x0u koordinatalar tekisligida to`g`ri chiziqni ifodalasa, R3 fazoda to`g`ri chiziqdan o`tib, x0u koordinatalar tekisligiga perpendikulyar yoki 0z applikata o`qiga parallel tekislikni aniqlaydi (2-rasm). B = C = 0 bo`lsa, Ax + D = 0 tekislik 0x abssissa o`qini nuqtada o`qqa perpendikulyar yoki y0z koordinatalar tekisligiga parallel ravishda kesuvchi tekislikni aniqlaydi (2-rasm) va hokazo. X = 0 – y0z koordinatalar tekisligi tenglamasi, y = 0 – x0z koordinatalar tekisligi tenglamasi va z = 0 esa x0y koordinatalar tekisligi tenglamasidir.
Agar umumiy ko`rinishdagi tekislik tenglamasida A, B, C va D sonlarning har biri noldan farq qilsa, u holda (3) umumiy tenglama quyidagi ko`rinishga keltirilishi mumkin
(4)
bu yerda, , va . (4) tenglamaga tekislikning kesmalarga nisbatan tenglamasi deyiladi (2 – rasm).
Berilgan M0(x0, y0, z0) nuqtadan berilgan N(A, B, C) vektorga perpendikulyar ravishda o`tuvchi tekislik tenglamasi vektor shaklda (N, r–r0) = 0 ko`rinishda yozilsa, koordinatalarda
A(x–x0) + B(y–y0) + C(z –z0) = 0
shaklda yoziladi. Bu yerda, r0 – M0 nuqtaning radius vektori.
Do'stlaringiz bilan baham: |
