«Farzandlarimiz bizdan ko’ra kuchli, dono, bilimli va albatta baxtli bo’lishi shart»

II BOB DIFFIRENSIAL TENGLAMALARNI MAPLE MUHITIDA YECHISH

«Fikrga qarshi fikr, g’oyaga qarshi g’oya, jaholatga
qarshi ma’rifat bilan kurashmoq kerak»[1].
I.A.Karimov

2.1 Differensial tenglamalar haqida tushuncha

- tartibli oddiy differensial tenglama(ODT)ning umumiy ko‘rinishi quyidagicha:
; (1)
bu yerda ushbu erkli haqiqiy o‘zgaruvchilarning berilgan funksiyasi, erkli o‘zgaruvchi, nom’lum funksiya, uning hosilalari. Tenglamada noma’lum funksiyaning - tartibli hosilasi qatnashgan deb hisoblanadi.
Agar (1) tenglamani ga nisbatan yechsak, yuqori tartibli hosilaga nisbatan yechilgan - tartibli oddiy differensial tenglamani hosil qilamiz:
(2)
Birinchi tartibli ODTlar Maple da quyidagi sinflarga ajratilgan :
umumiy ko‘rinishi (implicit - oshkormas),
hosilaga nisbatan yechulgan (normal) ko‘rinishi.
Ushbu tenglama tekislikning funksiya aniqlangan sohasida berilgan tenglamaning yo‘nalishlar
maydonini aniqlaydi. Bu maydonning har bir nuqtasiga yechim shu nuqtada urinadigan yo‘nalish qo‘yilgan. nuqtadagi maydon yo‘nalishining o‘qi bilan hosil qilgan burchak uchun bo‘ladi.
Birinchi tartibli ODTlarning kvadraturalarda yechiladigan (yechimlari chekli sondagi integrallar orqali ifodalanuvchi) sinflarining asosiylarini keltiraylik.
Kvadratura ko‘rinishidagi (quadrature) birinchi tartibli ODT
yoki .
Bu tenglamalar osongina yechiladi:
yoki ;
bu yerda ixtiyoriy o‘zgarmas.
O‘zgaruvchilari ajraladigan (separable) tenglama:
yoki ( );
Bunday tenglamani yechish uchun uning har ikkala tomonini yoki ga bo‘lamiz va hosil bo‘lgan tenglikning har ikkala tomonini inegrallaymiz:
yoki ,
yoki , .
Natijada berilgan tenglamaning oshkormas ko‘rinishdagi yechimini hosil qilamiz. Bu yerda shini e’tirof eyaylikki, Maple differensiallar orqali yozilgan ODTni tushunmaydi. Bu tanglamani Maple uchun ko‘rinishda berish kerak.
O‘zgaruvchilariga visbatan bir jinsli A sinf (homogeneous, A class) tenglama:
.
Bu tenglamada deb, yangi noma’lum funksiya uchun o‘zgaruvchilari ajraladigan tenglamaga kelinadi. funksiya topilgach, dastlabki tenglamaning yechimi topiladi.
Bir jinsli B sinf (homogeneous, B class) tenglama:
.
Bu tenglama ham almashtirish yordamida yechiladi.
Bir jinsli C sinf (homogeneous, C class) tenglama
,
bir jinsli D sinf (homogeneous, D class) tenglama

va bir jinsli G sinf (homogeneous, G class) tenglama
.
Bu tenglamalar ma’lum algoritmlarga ko‘ra yechiladi.
Chiziqli (linear) tenglama:
.
Bu tenglama odatda Eyler-Bernulli, Lagranj (ixtiyoriy o‘zgarmasni variatsiyalash) yoki integrallovchi ko‘paytuvchi usuli bilan yechiladi. Barcha yechimlar (umumiy yechim) ushbu

formula bilan aniqlanadi; bu yerda - ixtiyoriy o‘zgarmas (Maple belgilashi).
Bernulli tenglamasi

korinishga ega. U almashtirish yordamida chiziqli tenglamaga keltiriladi.
Rikkati tenglamasi:
.
Umumiy holda Rikkati tenglamasining yechimi kvadraturalarda topilmaydi, ya’ni yechim berilgan va elementar funksiyalar orqali chikli sondagi arifmeik amallar, kompozitsiya va integrallash amallari orqali ifodalanmaydi. Agar uning biror yechimi ma’lum bo‘lsa, noma’lum o‘rniga formula bilan yangi noma’lum kiritsak, ga nisbatan chiziqli tenlama hosil qilamiz.
To‘la hosilali (exact) tenglama:
, bunda berilgan funksiya;
bu tenglamaning yechini oshkormas (implicit) ko‘rinishda beriladi.
Differensiallarda yozilgan to‘la differensialli (exact) tenglama:
(Maple uchun ),
bunda
, ya’ni ;
uning yechimi oshkormas (implicit) ko‘rinishda ifodalanadi.
Ba’zan to‘la differensialli bo‘lmagan tenglamani biror integrallovchi ko‘paytuvchi (intfactor=integrating factor) funksiyaga ko‘paytirib, uni to‘la differensialli tenglamaga keltirish mumkin.
Yechimni (parametric) parametrik ko‘rinishda ham toppish
mumkin. Lagranj ( Maple da dAlembert, ya’ni Dalamber) va Klero tenglamalari mos ravishda quyidagi ko‘rinishga ega:
, .
Bu tenglamalarning yechimlarini parametr kiritish yo‘li bilan topish mumkin.
Birinchi tur Abel tenglamasi

ko‘rinishga ega. Umumiy holda u kvadraturalarda yechilmaydi. Ba’zi xususiy hollarda uning umumiy yechimi kvadraturalarda ifodalanadi. Bu tenglamani yechishda “Abel invarianti” metodi qo‘llaniladi.
Ikkinchi tur A sinf Abel tenglamasi

ko‘rinishda bo‘ladi. Umumiy holda u ham kvadraturalarda yechilmaydi.
Ikkinchi tur C sinf Abel tenglamasi

ko‘rinishga ega. Bu tenglama ham umumiy holda kvadraturalarda yechilmaydi.
Chini tenglamasi

ko‘rinishda yoziladi. Bu tenglama Rikkati ( ) va Abel ( ) tenglamalarini o‘z ichiga oladi. Tushunarliki, umumiy holda Chini tenglamasi ham kvadraturalarda yechilmaydi.
Ratsional (rational) ODT
bunda berilgan ko‘phadlar,
ko‘rinishda bo‘ladi. Umumiy holda bu tenglamaning yechimi kvadraturalarda ifodalanmaydi. Ba’zi hollarda bunday tenglamaning yechimlari Li gruppalari nazariyasi (simmetriya metodi) dan foydalanib qurilishi mumkin.
Yuqori tartibli ODTlar sinflari
Kvadratura ko‘rinishidagi (quadrature) yuqori tartibli ODT:
.
Bu tenglama marta ketma-ket integrallash orqali yechiladi.
Erksiz o‘zgaruvchi (noma’lun funksiya) yoki erkli o‘zgaruvchi oshkor ko‘rinishda tenglamada qatnashmagan (missing):
yoki .
Bu yerdagi birinchi tenglamada yangi noma’lum funksiya kiritilibb, uning tartibi bittaga kamaytiriladi: . Ikkinchi tenglamada esa yangi noma’lum kiritib, ni erkli o‘zgaruvchi deb qabul qilamiz; u holda


hosilalarni berilgan tenglamaga qo‘yib, uning tartibini bittaga kamaytiramiz:
.
To‘la hosilali nochiziqli ODT (exact nonlinear ODE):
( - tartibli tenglama) ).
Bunday tenglamaning tartibi birdaniga bittaga kamayadi:
( - tartibli tenglama) ).
Integrallovchi ko‘paytuvchi yordamida tartibi tushiriladigan (reducible) ikkinchi va uchinchi tartibli ODT:
( berilgan funksiyalar),
( berilgan funksiyalar).
Bu yerdagi ikkinchi tartibli tenglama integrallovchi ko‘paytuvchi yordamida ushbu birinchi tartibli, uchinchi tartibli tenglama esa integrallovchi ko‘paytuvchi yordamida ushbu ikkinchi tartibli tenglamaga keltiriladi.
- tartibli chiziqli ODT (linear ODE):

Bu tenglamaning chap tomoni - noma’lum funksiya va uning hosilalariga nisbatan chiziqli ifoda (chiziqli differensial operator). Umumiy holda bu tenglama kvadraturalarda yechilmaydi. Lekin ba’zi xususiy hollarda uning yechimini kvadraturalarda topish yoki tartibini tushirish mumkin. Berilgan chiziqli tenglamaga mos bir jinsli tenglama ushbu

ko‘rinishga ega. Bu tenglamaning dona chiziqli erkli yecimlari uning bazis (fundamental) yechimlari deb ataladi. Bazis yechimlar mavjud va bu bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi biror
bazis echimlarning ixtiyoriy chiziqli kombinatsiyasi ko‘rinishida ifodalanadi: . Berilgan bir jinsli bo‘lmagan tenglamaning umumiy yechimi uning biror xususiy yechimiga mos bir jinsli tenglamaning umumiy yechimini qo‘shishdan hosil bo‘ladi.
To‘la hosilali chiziqli ODT (exact linear ODE) ko‘rinishi:
,
bu yerda - noma’lum funksiya va uning hosilalariga nisbatan - tartibli chiziqli ifoda, ya’ni

berilgan tenglama - tartibli. Uning tartibi birdaniga bittaga kamayadi:
.
- tartibli chiziqli o‘zgarmas koeffitsientli bir jinsli ODTning ko‘rinishi quyidagicha:
.
Bunday differensial tenglamani yechish uchun uning ushbu

xarakteristik tenglamasini yechib, xarakteristik sonlarni topish kerak. Differensial tenglamaning bazis yechimlari ( dona chiziqli erkli yechimlari) topilgan xarakteristik sonlarga ko‘ra ma’lum algoritm asosida quriladi. Agar xarakteristik tenglamaning karrali ildizi bo‘lsa, berilgan DTning unga mos ( dona) yechimlarini tuzib, ularga ko‘ra bazis yechimlar quriladi. Umumiy yechim ana shu bazis yechimlarning ixtiyoriy chiziqli kombinatsiyasi ko‘rinishida ifodalanadi. Differensial tenglamaning koeffitsientlari haqiqiy, lekin ba’zi xarakteristik sonlar kompleks bo‘lsa, Eyler formulalariga ko‘ra kompleks bazis yechimlardan haqiqiy bazis yechimlar quriladi va haqiqiy sohadagi umumiy yechimning ko‘rinishi yoziladi.
bazis echimlarning ixtiyoriy chiziqli kombinatsiyasi ko‘rinishida ifodalanadi: . Berilgan bir jinsli bo‘lmagan tenglamaning umumiy yechimi uning biror xususiy yechimiga mos bir jinsli tenglamaning umumiy yechimini qo‘shishdan hosil bo‘ladi.
To‘la hosilali chiziqli ODT (exact linear ODE) ko‘rinishi:
,
bu yerda - noma’lum funksiya va uning hosilalariga nisbatan - tartibli chiziqli ifoda, ya’ni

berilgan tenglama - tartibli. Uning tartibi birdaniga bittaga kamayadi:
.
- tartibli chiziqli o‘zgarmas koeffitsientli bir jinsli ODTning ko‘rinishi quyidagicha:
.
Bunday differensial tenglamani yechish uchun uning ushbu

xarakteristik tenglamasini yechib, xarakteristik sonlarni topish kerak. Differensial tenglamaning bazis yechimlari ( dona chiziqli erkli yechimlari) topilgan xarakteristik sonlarga ko‘ra ma’lum algoritm asosida quriladi. Agar xarakteristik tenglamaning karrali ildizi bo‘lsa, berilgan DTning unga mos ( dona) yechimlarini tuzib, ularga ko‘ra bazis yechimlar quriladi. Umumiy yechim ana shu bazis yechimlarning ixtiyoriy chiziqli kombinatsiyasi ko‘rinishida ifodalanadi. Differensial tenglamaning koeffitsientlari haqiqiy, lekin ba’zi xarakteristik sonlar kompleks bo‘lsa, Eyler formulalariga ko‘ra kompleks bazis yechimlardan haqiqiy bazis yechimlar quriladi va haqiqiy sohadagi umumiy yechimning ko‘rinishi yoziladi.


Ikkinchi tartibli ODTlar


Ikkinchi tartibli ODTlar Maple da quyidagi sinflarga ajratilgan:
Bessel tenglamasi

ko‘rinishga ega; bunda berilgan son(natural bo‘lishi shart emas), noma’lum funksiya. Birinchi tur va ikkinchi tur Bessel funksiyalari ana shu tenglamaning chiziqli erkli yechimlaridir. Ular Maple da mos ravishda BesselJ(n,x) va BesselY(n,x) bilan belgilanadi. Bessel tenglamasining umumiy yechimi

ko‘rinishda ifodalanadi. IV.1- rasmda ( BesselJ(0,x) ) va (BesselY(0,x)) Bessel funksiyalarining grafiklari keltirilgan ( ):

IV.1- rasm. ( BesselJ(0,x) ) va (BesselY(0,x))

Bessel funksiyalarining grafiklari
Modifikatsiyalangan Bessel tenglamasi

ko‘rinishga ega. Birinchi tur va ikkinchi tur modifikatsiyalangan Bessel funksiyalari ana shu tenglamaning (mos boshlang‘ich shartlarni qanoatlantiruvchi) chiziqli erkli yechimlaridir. Ular Maple da mos ravishda BesselI(n,x) va BesselK(n,x) bilan belgilanadi. Modifikatsiyalangan Bessel tenglamasining umumiy yechimi

formula bilan aniqlanadi. (BesselI(0,x)) va ( BesselK(0,x)) funksiyalarining grafiklari quyidagi IV.2- rasmda keltirilgan.

IV.2- rasm. (BesselI(0,x)) va ( BesselK(0,x)) funksiyalarining grafiklari

Dyuffing (Duffing) tenglamasi
.
Uning yechimi elliptik integrallar orqali ifodalanishi mumkin.
Ellipsoidal DT:
.
Elliptik DTlar ikki turga ajratilgan:
birinchi tur elliptik ODT - ;
ikkinchi tur elliptik ODT - .
Bu tenglamalarning yechimlari elliptic funksiyalar (EllipticK(x), EllipticCK(x) , EllipticE(x) , EllipticCE(x)) orqali ifodalanadi.
Ermit DTsi (Hermite ODE):
.
Bu tenglamaning yechimlari Uitteker (hipergeometrik yoki Kummer) funksiyalari orqali ifodalanishi mumkin: