«Farzandlarimiz bizdan ko’ra kuchli, dono, bilimli va albatta baxtli bo’lishi shart»

> ErmitDT:= diff(y(x),x,x) = 2*x*diff(y(x),x)-2*n*y(x);

> dsolve(ErmitDT);


Ushbu convert (%, hypergeom) buyruqni berib, yechimni hipergeometrik funksiyalar orqali ifodalasa ham bo‘ladi.
Xatolik DTsi (erf ODE):
.
Bu tenglamaning umumiy yechimi Uittekker funksiyalari orqali ifodalanadi:
> ERFDT:=diff(y(x),x,x)+2*x*diff(y(x),x)-2*n*y(x)=0;

> dsolve(ERFDT);


Gegenbauer DTsi (Gegenbauer ODE)
.
Bu tenglamaning yechimlari Legandr funsiyalari orqali ifodalanadi.
Van der Pol DTsi (Van der Pol ODE)
.
Lagerr (Laguerre) DTsi
.
Bu tenglamaning yechimlari Uitteker funksiyalari ( Maple da WhittakerW va WhittakerM ) orqali ifodalanishi mumkin.
Yuqorida keltirilgan tenglamalardan tashqari ikkinchi tartibli chiziqli simmetriyali ODT ( ODE with linear symmetries )lar sinfi ham mavjud.
Differensial tenglamalar sinflarining to‘la ro‘yxatini ?odeadvisor so‘rovi yordamida bilib olish mumkin.
Differensial tenglamaning bir dona yechimini ajratish uchun qo‘shimcha shart(lar) qo‘yish kerak. Ushbu

boshlang‘ich masala (Koshi masalasi) berilgan differensial tenglamaning berilgan boshlang‘ich shartlar (ICs - initial conditions)ni qanoatlantiruvchi yechimini topish demakdir. Boshlang‘ich shartlarning barchasi nuqtada qo‘yilgan.
Chegaraviy masalada shartlar qaralayotgan oraliqning chegarasida qo‘yiladi:

bu yerda va chegaraviy shartlar (boundary conditions) deb ataladi.

Oddiy differensial tenglamalar sistemalari

noma’lum funksiyalarga nisbatan differensial tenglamalar normal sistemasi
(ODTsist)
ko‘rinishga ega;
bu yerda silliq funksiyalar, sistemaning tartibi deyiladi. Agar sistemning o‘ng tomonidagi funksiyalar o‘zgaruvchiga oshkor ko‘rinishda bog‘liq bo‘lmasa, u holda avtonom sistema (dinamik sistema) hosil bo‘ladi:

Avtonom sistema yechimlarini fazalar fazosida o‘rganish qulay. Har bir yechim fazalar fazosida parametrik ko‘rinishdagi egri chiziqni ifodalaydu. Bu egri chiziq trayektoriya deb ataladi. Avtonom sistema fazalar fazosining har bir nuqtasida tezlik vektorini, ya’ni vektorlar maydonini aniqlaydi. Dinamik sistemaning trayektoriyalari o‘zining har bir nuqtasida shu nuqtadagi (tezlik) maydon vektoriga urinadi. Trayektoriyalar uch xil bo‘ladi:
nuqta (muvozanat holati; o‘zgarmas yechim), yopiq trayektoriya (davriy yechim) va oz-o‘zini kesmaydigan trayektoriya (davriy bo‘lmagan yechim).
Agar funksiya ( ODTsist) ning har bir yechimi bo‘ylab o‘zgarmasga aylansa, ya’ni

bo‘lsa, u holda funksiya ( ODTsist) ning birinchi integrali deyiladi. funksiya ( ODTsist)ning birinchi integral bo‘lishi uchun

tenglikning qanoatlanishi yetarli va zarurdir. Agar sistemaning biror birinchi integalri ma’lum bo‘lsa, uning tartibini bittaga pasaytirish (kamaytirish) mumkin.
Agar (ODTsist) ning dona erkli birinchi integrali topilgan bo‘lsa, uning, ya’ni ( ODTsist) ning umumiy yechimi ushbu

sistemadan aniqlanadi ( ).
Differensial tenglamada (yoki differensial tenglamalar sistemasida) qatnashgan funksiyalarning barchasi analitik bo‘lganda (maxsus nuqtalar yo‘q), yechimlarni darajali qator yig‘indisi sifatida topish mumkin, ya’ni yechim ham analitik funksiyadan iborat bo‘ladi.
Ushbu
yoki
ko‘rinishdagi tenglamani qaraylik; bu yerda nuqtada analitik funksiyalar. Berilgan DTning maxsus nuqtasi regyulyar maxsus nuqta (regularsp) deyiladi. Regyulyar maxsus nuqta atrofida bu tenglama ushbu

umumlashgan darajali qator yig‘indisi ko‘rinishidagi yechimga ega bo‘ladi. Bu yoyilmani berilgan tenglamaga qo‘yib, soni va koeffitsientlar uchun tenglamalar hosil qilinadi (Frobenius metodi). Bunda soni uchun ushbu
( )