Tenglamalar sistemasini qaraymiz. Bu yerda

tenglamalar sistemasini qaraymiz. Bu yerda

, (2.1.2)

Buning uchun butun o’qda quyidagi

(2.1.6)

tenglamalar sitemasini potentsiali

. (2.1.7)

shartni qanoatlantirgan holda qaraymiz.

Ma’lumki, (2.1.7) shart bajarilganda (2.1.6) tenglamalar sistemasining



asimptotikaga ega bo’lgan Yost yechimlari mavjud (bu yerda - ning kompleks qo’shmasi emas). Haqiqiy larda va vektor funksiyalar jufti (2.1.6) tenglamalar sistemasining chiziqli erkli yechimlar sistemasi bo’ladi. Bundan

(2.1.8)

munosabat o’rinli bo’ladi. Ma’lumki, funksiya yuqori (quyi)

yarim tekislikka analitik davom etadi va u yerda chekli sondagi nollarga ega bo’lib, bu sonlar

,

operatorning yuqori (quyi) yarim tekislikdagi хos qiymatlari bo’ladi va

,

munosabatlar o’rinli bo’ladi.

Biz va funksiya haqiqiy o’qda nollari bo’lmasin, ya’ni operatorning spektral maхsus nuqtalari bo’lmasin deb olamiz.

funksiya uchun quyidagi

(2.1.9)

integral tasvir o’rinli. Bu yerda (2.1.9) tasvirning yadrosi ga bog’lik emas va bilan

. (2.1.10)

munosabat orqali bog’langan. Bundan tashqari yadroning komponentalari quyidagi

(2.1.11)

integral tenglamalar sistemasining yechimi bo’ladi. Bu yerda

Endi potentsialni (2.1.10) tenglik orqali aniqlash mumkin.

Ushbu tizim (2.1.6)-(2.1.7) masalaning sochilish nazariyasining berilganlari deyiladi.

Eslatib o’tamiz,

, (2.1.12)

Funksiya tenglamaning yechimi bo’ladi va uning uchun

(2.1.13)

asimptotikalar o’rinli. (2.1.13) ga asosan

. (2.1.14)

bajarilishi kelib chiqadi.

potentsiali

(2.1.15)

tenglamaning yechimi bo’lgan (2.1.6) tenglamalar sistemasini qaraymiz.

Quyidagi lemma o’rinli.

Lemma: Agar (4) tenglamaning (3) siga tegishli yechimi bo’lsa, u holda potensiali berilgan (*) tenglamalar sistemasi sochilish nazariyasining berilganlari t ga quyidagicha bog’langan bo’ladi.

(5)

(6)

(7)

Isbot: Ushbu (8)

operator yordamida (8) tenglamani

(9)

ko’rinishda yozib olamiz. Bu yerda

Ushbu

tenglikni t bo’yicha differensiallaymiz.

(10) tenglamaning yechimini o’zgarmasni variatsiyalash usulidan foydalanib, tenglama ko’rinishida izlaymiz.

Bu tenglamaning bir jinsli qismi

bo’ladi. Bundan ko’rinadiki, funksiya ham tenglamaning yechimi bo’lar ekan. Demak, bu yechimni haqiqiy larda fundamental yechimlar sistemasi orqali chiziqli ifodalanadi, ya’ni shunday va sonlar mavjudki

tenglik o’rinli bo’ladi. O’zgarmasni variatsiyalash usulida (2.1.18) tenglamani yechamiz, yani

(2.1.19)

tenglamani hosil qilib olamiz.

topish talab qilinadi. U holda va larni topish uchun tenglamaga ega bo’lamiz.

(12)

Bu yerda

(12) tenglamalar sistemasini yechish uchun belgilash kiritamiz.

bo’lsa

Bu tengliklardan foydalanamiz. (12) tenglikni va ga ko’paytirsak.

(2.1.21)

hosil qilamiz. (2.1.16) ga asosan, da

bo’ladi. Bundan (2.1.19) ga asosan da

,

bo’lishi kelib chiqadi. Demak, (2.1.21) dan

aniqlash mumkin. Bundan (2.1.19) tenglik

(2.1.22)

ko’rinishga keladi. (2.1.22) tenglikda da limitga o’tib (2.1.8) yordamida

bo’lishini topamiz. Demak, da

tenglik o’rinli ekan.

Ushbu

tenglikni bo’yicha differentsiallab

,

bo’lishini topamiz. Buni (2.1.12) ga asosan

(2.1.23)

ko’rinishda yozish mumkin. Bu yerda

(2.1.18) tenglik yordamida ushbu

tenglik o’rinli bo’lishini ko’rsatish mumkin.