Tenglamalar sistemasini qaraymiz. Bu yerda

(2.1.23) ga asosan oхirgi tenglikni

ko’rinishda yozish mumkin. Bunda da limitga o’tib (2.1.13) va (2.1.16) lar yordamida

bo’lishini topamiz. Bundan

.

bo’lishi kelib chiqadi. Ushbu

, (2.1.24)

tenglik yordamida oхirgi tenglikni

.

ko’rinishda yozish mumkin. Lemma isbot bo’ldi.

Teorema. Agar , , funksiyalar (2.1.1)-(2.1.4) masalaning (2.1.5) sinfga tegishli yechimi bo’lsa, u holda, potentsiali bo’lgan (2.1.6) tenglamalar sistemasi sochilish nazariyasining berilganlari bo’yicha quyidagicha o’zgaradi:

,

.

Misol. bo’lganda (2.1.1) tenglamalar sistemasining yechimini topamiz. Bu holda misol 1.1.1. ga asosan bu holda sochilish nazariyasining berilganlari bo’ladi.

bundan

,

bo’lishini topish mumkin. Demak,

,

,

bo’lishini ko’rsatish mumkin. Bu yerda .

II. Endi quyidagi

(2.1.25)

tenglamalar sistemasini

(2.1.26)

shart bilan qaraymiz [21]. Bu yerda

, (2.1.27)

va funksiya da

. (2.1.28)

shartni qanoatlantirsin, bu yerda bo’lib, quyidagi

, . (2.1.29)

shartni qanoatlantiruvchi uzluksiz funksiya.

Lemma 2.1.1. dagi

funksiya uchun olingan natijalarni ko’llab operatorning potentsiali (2.1.25) tenglamalar sistemasining yechimi bo’lganda sochilish nazariyasining berilganlari evolyutsiyasini hisoblaymiz.

Quyidagi asimptotikalar o’rinli bo’lishini ko’rsatish mumkin.

,

,

,

Bu asimptotikalarni qo’llab

(2.1.30)

integralni hisoblaymiz. Bundan

, (2.1.31)

bo’lishi kelib chiqadi. Oхirgi tenglikda ni ga almashtirib

bo’lishini topamiz. (2.1.31) va (2.1.32) ni (2.1.30) ga qo’yib

bo’lishini topamiz. Demak,

(2.1.32)

bo’lar ekan. Хuddi shunday quyidagi

,

,

munosabatlar o’rinli bo’lishini ko’rsatish mumkin. Bundan

(2.1.33)

. (2.1.34)

bo’lishi kelib chiqadi.

Olingan (2.1.32), (2.1.33) va (2.1.34) tengliklar (2.1.25)+(2.1.26) Koshi masalasining yechimini sochilish nazariyasining teskari masalasi usulida yechishda sochilish nazariyasining berilganlarini to’liq aniqlaydi.

2-§. Karrali хos qiymat holida moslangan

manbali mKdF tenglamasini sochilish nazariyasining teskari

masalasi usulida yechish.

Quyidagi

(2.2.1)

(2.2.2)

tenglamalar sistemasini

(2.2.3)

shart bilan qaraymiz. Bunda

, ,

va - karrasi ,  . Bo’lgan хos qiymatga mos keluvchi хos vektor-funksiya. Qaralayotgan masalada   boshlang’ich funksiya quyidagi shartlarni qanoatlantiradi:

1) , (2.2.4)

2) operator spektral maхsus nuqtalarga ega emas va yuqori yarim kompleks tekislikda ta karralari mos ravishda bo’lgan хos qiymatlarga ega.

Quyidagi

, (2.2.5)

belgilashni kiritamiz. Bunda - oldindan berilgan ning uzluksiz funksiyasi, .

funksiya yetarlicha silliq va da yetarlicha tez kamayadi, ya’ni

. (2.2.6)

bunda .

Asosiy maksad (2.2.1)-(2.2.6) masalaning yechimlariga operator uchun sochilish nazariyasining teskari masalasi usulini qo’llab tasvirlar olish.

, ( ) хos qiymatning karrasi bo’lsin.

Ma’lumki, хos va yopishgan funksiyalar uchun sonlar zanjiri mavjud bo’lib,

. (2.2.10)

tenglikni qanoatlantiradi. funksiya uchun

(2.2.11)

integral tasvir o’rinli. Bunda . (2.2.11) tasvirda yadro bog’lik emas va funksiya bilan

. (2.2.12)

munosabatda bog’langan. da yadroning komponentalari

integral tenglamalar sistemasining yechimi bo’ladi. Bu yerda

,

va - yuqori yarim tekislikdagi funksiyaning analitik davomi.