Ekonometrika asoslari

У.

У х_гх₂-х_г...х_р - f(^XlX Ух₂-х₁-х_З...х_р ~ f(^X2X

Х_п -Xi -Х-,.. ,х_п

ya'ni ushbu tenglamalar sistemasi natijaviy belgini mos x omil belgi bilan, ko'p o'lchovli regressiyada e'tiborga olinuvchi qolgan belgilarini o'rtacha qiymatida ushlab turgan holda, bog'lanishini ifodalaydigan regressiya tenglamalaridan iborat. Regressiyaning xususiy tenglamalari quyidagi ko'rinishga ega:

y.


У х-,-.


(6.2)


X-, -Xi ,X-2. ..x_r

= a + b_l ■ x₁ + b₂ ■ x₂ + b₃ ■ x₃ +... + b_p ■ x_p + s = a + b_l ■x_l +b₂ -x₂ +b₃ -x₃ + ... + b -x +s

У.


Xp -Xj .x<sub>p

л</sub> = a + b₁-x₁ +b₂-x₂+... + b_p__lx_p__l+b_p-x_p +s

y.

Ushbu tenglamalarga mos omillarning o'rtacha qiymatlarini qo'yib chiqsak, ular juft chiziqli regressiya tenglamasining ko'rinishini olib quyidagicha ifodalanadi:

+ ^л * Х

л

У.


p p

= A„+b„-x

Xp -Xj ,x₂ ,--Xp_

J

bu yerda,

A₁ = a + b₂ ■ x₂ + b₃ ■ x₃ +... + b_p ■ x_p A₂ = a + b_x ■ x_x + b₃ ■ x₃ +... + b_p ■ x_p

A_p=a + b_l-x_l+b₂-x₂+... + b_p__Yx_p__Y

Juft regressiyadan regressiyaning xususiy tenglamasini farqi shundan iboratki, u omillarni natijaga alohida -alohida ta'sirini tavsiflaydi, chunki bir omilni ta'sirini o'rganilayotganda qolganlari o'zgarmas holda ushlab turiladi. Qolgan omillarni ta'sir darajasi ko'p omilli regressiya tenglamasining ozod hadida hisobga olinadi. Bunday holat regressiyaning xususiy tenglamasi asosida elastiklikning xususiy koeffitsientini aniqlash imkonini beradi, u quyidagicha ifodalanadi:

(6.3)

s x_i-x₁x₁...x_i_₁-x_i+1-

x
bu yerda: bi - qo'p omilli regressiya tenglamasida x, omil uchun regressiya koeffitsienti;

/V

Ух_гх_ух₂...х,_ух_ы-х_р - regressiyaning xususiy tenglamasi.

Misol. Respublikaning qator hududlarida ma'lum bir mahsulot importi hajmi(y)ni shu mahsulotning ishlab chiqarish hajmi(^₁), zahiralari hajmining o'zgarishi(x₂) va ichki bozordagi iste'moli(x₃)ga nisbatan ko'p omilli regressiyasi quyidagi tenglama bilan ifodalangan bo'lsin:

у = -66,028 + 0,135 • Xj + 0,476 • x₂ + 0,343 • x₃.

Omillarning o'rtacha qiymatlari quyidagicha bo'lsin:

у = 31,5; Xj = 245,7; x₂ = 3,7; x₃ =182,5.

Berilgan ma'lumotlar asosida to'plam bo'yicha o'rtacha elastiklik ko'rsatkichini (6.3) dan foydalanib topish mumkin, ya'ni

i у

Qaralayotgan misoldagi birinchi ko'rsatkich uchun o'rtacha elastiklik koeffitsienti quyidagiga teng:

— 245 7

3_V = 0,135 • zZziL ₌ l 053%,

^ 31,5

ya'ni, mahalliy ishlab chiqarish hajmi 1% ga o'sganda, zahira hajmi va iste'mol o'zgarmagan holda import hajmi hududlar to'plami bo'yicha l,053%ga o'sadi. Ikkinchi o'zgaruvchi uchun elastiklik koeffitsienti teng:

3_V = 0,476 • = 0,056% 31,5

ya'ni, zahiraning o'zgarishi 1% ga o'sganda, ishlab chiqarish va ichki iste'mol o'zgarmaganda, import hajmi o'rtacha 0,056% ga ko'payadi.

Uchinchi o'zgaruvchi uchun esa elastiklik koeffitsienti quyidagiga teng:

1 QO 5

Э = 0,343 ^ = 1,987%

31,5

ya'ni, ichki iste'molni 1% ga o'sishi, ishlab chiqarish hajmi va zahira miqdori o'zgarmagan holda, import hajmini 1,987% ga ortishini ko'rsatadi.

7

2

Elastiklikning o'rtacha ko'rsatkichlarini bir-birlari bilan taqqoslash mumkin va mos ravishda omillarni natijaga ta'sir kuchiga qarab tartib bilan joylashtirish (ranjirlash) mumkin. Misolimizda natijaga (import hajmiga) eng ko'p ta'sir etuvchi o'zgaruvchi, bu mahsulotni iste'mol hajmi - x₃, eng kam ta'sir etuvchi omil esa zaxiralarning o'zgarishi - x₂ .Barcha hududlar bo'yicha elastiklikning o'rtacha ko'rsatkichi bilan bir qatorda regressiyaning xususiy tenglamasi asosida har bir hudud uchun xususiy elastiklik koeffitsientlarini hisoblash mumkin.

Bizning misolimiz uchun regressiyaning xususiy tenglamasi quyidagilardan iborat bo'ladi:

- birinchi omil uchun,

= a + \ • x_x + b₂ • x₂ + b₃ ■ x

ya'ni j>_x ._x ._x3 = -66,028 + 0,135 • Xj + 0,476-3,7 + 0,343 -182,5 = -1,669 + 0,135 • - ikkinchi omil uchun,

a + fr -x, + b₀ ■ x, + b-. • x

ya'ni y_X2,_Xi,_Xj = -66,028 + 0,135 • 245,7 + 0,476 • x₂ + 0,343 -182,5 = 29,739 + 0,476 • x₂; -uchinchi omil uchun,

j>_W2 =a + b_lx_l+b₂-x₂+b₃x,_:

ya'ni у_Хз._Х1._Хз =-66,028 + 0,135 • 245,7+ 0,476-3,7 + 0,343-x₃ =-31,097 + 0,343 • x₃

Ushbu tenglamalarga mos omillarning hududlar bo'yicha haqiqiy qiymatlarini qo'yib, bitta omilni berilgan qiymatida boshqa qolgan omillarning o'rtacha qiymatida modellashtiriluvchi у ko'rsatkichning qiymatini topamiz. Bu natijaviy belgining hisoblangan qiymati yuqoridagi keltirilgan formulalar bo'yicha elastiklikning xususiy koeffitsientlarini topish uchun qo'llaniladi.

1,084%;

Masalan, agar hududda x_x =160,2; x₂ =4,0; x₃ =190,5 bo'lsa, u holda elastiklikning xususiy koeffitsientlari quyidagilarga teng bo'ladi:

160,2

1,669 + 0,135-160,2

0,060%;

4,0

yoki Э_у =0,476-

29,739 + 0,476-4,

0х 190 5

Y yoki 3_V =0,343 ^^ = 1,908%.

^Ухз у ^У'³ -31,097 + 0,343-190,5

^ x₃-x₁-x₂ ^{7 7 7}

Ko'rinib turibdiki, hududlar uchun elastiklikning xususiy koeffitsientlari, hududlarning barchasi bo'yicha hisoblangan o'rtacha elastiklik ko'rsatkichlaridan farq qiladi. Ular alohida hududlarni rivojlantirish uchun qarorlar qabul qilishda foydalaniladi.

6.2. Ko'p omilli korrelyatsiya

Ko'p omilli regressiya tenglamasining amaliy ahamiyati ko'p omilli korrelyatsiya koeffitsienti va uning kvadrati -determinatsiya koeffitsienti yordamida baholanadi.

Ko'p omilli korrelyatsiya koeffitsienti qaralayotgan omillar to'plamini o'rganilayotgan belgiga bog'lanish darajasini tavsiflaydi, ya'ni omillarni birgalikda natijaviy belgiga ta'sir kuchini tavsiflab beradi.

Ko'p omilli korrelyatsiya ko'rsatkichi o'zaro bog'lanish shakllaridan qat'iy nazar ko'p o'lchovli korrelyatsiya indeksi kabi aniqlanishi mumkin:

buyerda: ²_qol-y = /(*,,x₂x_/;) tenglamauchunqoldiqdispersiya,

^{y Уx₁,x_2nx_p j² _

®' qol

n

<з²_у -natijaviy belgining umumiy dispersiyasi, = —.

n

Ko'p omilli korrelyatsiya indeksini tuzish metodikasi juft bog'lanishnikiga o'xshash. Uning o'zgarish chegarasi ham 0 dan 1 gacha. U lga qanchalik yaqin bo'lsa natijaviy belgining barcha omillar bilan bog'lanish darajasi shunchalik yuqori bo'ladi. Ko'p omilli korrelyatsiya indeksining qiymati juft omilli korrelyatsiyalar indekslarining maksimal qiymatidan katta yoki unga teng bo'lishi kerak, ya'ni,

~ ^yXj(шах) (j P}'

Bog'lanish chiziqli bo'lganda korrelyatsiya indeksi formulasini juft korrelyatsiya koeffitsienti orqali quyidagicha ifodalash mumkin:

=v2X -'v (6.5)

bu yerda: P_x. -regressiyaning standartlashgan koeffitsienti;

r_yXj -natijaning har bir omil bilan juft korrelyatsiya koeffitsienti.

Chiziqli regressiya uchun ko'p omilli korrelyatsiya indeksi formulasi ko'p omilli chiziqli korrelyatsiya koeffitsienti yoki korrelyatsiya koeffitsienti to'plami deb nomlanadi.

Chiziqsiz bog'lanish uchun ham ko'p omilli korrelyatsiya indeksi korrelyatsiya koeffitsienti to'plamiga teng bo'lishi mumkin. Firma uchun daromad modeli у quyidagi ko'rinishga ega bo'lsa:

у = a + b_{ • x_{ + b₂ - \nx₂ + b₃ - \nx₃ + b₄ - \nx₄ + s,

bu yerda: л-, -reklama uchun xarajatlar; jc₂ -firma kapitali;

x₃-hudud bo'yicha sotilgan ma'lum bir guruh tovarlarni firmaning umumiy mahsulotlaridagi ulushi;

x₄ -firmaning awalgi yilga nisbatan sotilgan mahsulotlari haj mining ko'payish foizi.

x_l omil chiziqli, x₂,x₃,x₄- omillar logarifmik shaklda berilgani bilan bog'lanish kuchini baholash chiziqli ko'p omilli korrelyatsiya koeffitsienti yordamida amalga oshirilishi mumkin. Agar qaralayotgan model standartlashtirilgan quyidagi ko'rinishda bo'lsa:

t_y = -0,4 • t_Xi + 0,5 • t_X2 + 0,4 • t_X3 + 0,3 • t_X4,

daromadni unga ta'sir etuvchi har bir omil bilan juft korrelyatsiyasi esa

^ry_Xl = ^ryln_X2 = ⁰>⁷; = ^ryln_X4 = 0,4.

bo'lsa, u holda ko'p omilli determinatsiya koeffitsienti (6.5) quyidagiga teng bo'ladi:

Rl_rrr = -0,4 • (-0,6) + 0,5 • 0,7 + 0,4 • 0,6 + 0,3 • 0,4 = 0,95.

ух I x₂x₃x₄ ? V ? / ? ? ? ? ? ? ?

Huddi shunday natijani natijaviy belgining qoldiq va umumiy dispersiyalari nisbati bo'yicha aniqlangan ko'p omilli determinatsiya indeksi orqali ham olish mumkin.

6.3. Xususiy korrelyatsiya

Yuqorida ko'rib o'tilganidek, ko'p omilli chiziqli regressiyada qatnashuvchi omillarni ranjirlash regressiyaning standartlashtirilgan koeffitsientlari( p) orqali ham amalga oshirilishi mumkin. Bunga, chiziqli bog'lanishlar uchun, xususiy korrelyatsiya koeffitsientlari orqali ham erishish mumkin. O'rganilayotgan belgilar chiziqli bog'lanishlarda bo'lmagan holatlarda esa bu vazifani hususiy determinatsiya koeffitsientlari bajaradi. Bundan tashqari, hususiy korrelyatsiya koeffitsientlari omillarni saralash muammolarini yechishda qo'llaniladi, ya'ni u yoki bu omilni modelga kiritish masalasi xususiy korrelyatsiya koeffitsientlari orqali isbotlab beriladi.

Xususiy korrelyatsiya koeffitsienti (yoki indeksi) natija bilan regressiya tenglamasiga kiritilgan bitta omil orasidagi bog'lanish kuchini, boshqa omillar ta'siri o'zgarmagan holda, tavsiflaydi.

Xususiy korrelyatsiya koeffitsientlari tahlil uchun modelga kiritilgan yangi omil hisobiga kamaygan qoldiq dispersiyani yangi omil kiritilmasdan oldingi qoldiq dispersiyaga bo'lgan nisbatiga teng.

Misol. Faraz qilaylik, mahsulot hajmi(y)ning mehnat xarajatlari(x,)ga bog'liqligi

д =27,5+3,5^, г_щ =0,58

tenglama bilan ifodalansin.

Ushbu tenglamaga .^ning haqiqiy qiymatlarini qo'yib, mahsulot hajmi >',. ning nazariy qiymati va unga mos keluvchi qoldiq dispersiya a² qiymatini topamiz:

2 _Z(^~i⁾x₁)²
Regressiya tenglamasiga qo'shimcha x₂ -ishlab chiqarishni texnik ta'minlanganlik darajasi omilini kiritib, quyidagi regressiya tenglamasini olamiz:

Ух_Л ⁼ 20,2+2,8 • Xj + 0,2 • x₂ . (6.6)

Tabiiyki, bu tenglama uchun qoldiq dispersiya kamayadi, Faraz qilaylik awalgi qoldiq dispersiya cr.. =6 bo'lgan bo'lsa, ikkinchi omil kiritilgandan so'ng <7²_ЩХг =3,7 bo'lgan. Demak, modelga qancha ko'p omil kiritilsa qoldiq

dispersiyaning qiymati shuncha kamayadi. X₂ qo'shimcha omilning kiritilishi natijasida qoldiq dispersiyaning kamayishi ст²_щ - cr. = 2,3 ga teng bo'ladi.

Qo'shimcha omil kiritilishiga qadar bo'lgan dispersiya-a²^ da bu

kamayishning hissasi qancha ko'p bo'lsa, у bilan jo orasidagi bog'lanish, x\ omilining ta'siri o'zgarmas bo'lganda, shuncha zich bo'ladi. Bu miqdorni kvadrat ildiz ostidan chiqarsak, bizgaу ni jc₂ bilan bog'lanish zichligini "toza" ko'rinishda ifodalovchi xususiy korrelyatsiya indeksini beradi.

Demak, л-, omilni у natijaga toza ta'sirini quyidagicha aniqlash mumkin:_2 2 (7 —(7

yxi yx_xx₂


r

yx ₂x₁


л


® У*l

X\ omilning у natijaga xususiy ta'siri ham xuddi shu kabi aniqlaniladi:

_2 2 (7 —(7

yx 2 yxiX₂


r =

yXyX 2


О' yx₂

Agar C7²_X2 = 5 deb olsak, u holda (6.6) tenglama uchun xususiy korrelyatsiya koeffitsientlari quyidagicha bo'ladi:

'n-ff-W va = 0,619.

Olingan natijalarni taqqoslab ko'rsak, mahsulot hajmiga ko'proq korxonaning texnik ta'minoti ta'sir etishini ko'rishimiz mumkin

.Agar qoldiq dispersiyani cr_qoIi =cr_y(l-r) ko'rinishda determinatsiya