4-Maxzu. Variasiya ko’rsatkichlari

4-Maxzu. Variasiya ko’rsatkichlari.
Reja.

4.1. Variasiya, assimetriya va ekssess ko’rsatkichlari.

4.2. Dispersion tahlil asoslari.

Adabiyotlar: 8, 9, 10, 11, 12, 13, 20, 21, 22, 25, 26, 27, 28

Tayanch iboralar.

Variasiya; variasion kenglik; o’rtacha mutlaq tafovut; o’rtacha kvadrat tafovut (dispersiya); o’rtacha kvadratik tafovut; variasiya koefisiyenti; dispersiyasi; umumiy dispersiya; guruhiy dispersiya; qoldiq dispersiya; nolga baravar gipoteza; erkin o’zgaruvchan birliklar; muqobil belgi dispersiyasi

4.1. Variasiya, assimetriya va ekssess ko’rsatkichlari.

O’rtacha miqdorlar bir-biridan tafovutda alohida miqdorlarni umumlashtirib tavsiyalansada, lekin o’ziga nisbatan alohida miqdorlarning qanchalik tafovutda ekanligini, u tafovutning qanchalik katta-kichikligini ifodalay olmaydi.

Vaxolangki, o’rtachaning real qiymatga ega bo’lishi bevosita alohida miqdorlar o’rtasidagi tafovutga bog’liq bo’ladi.

Agarda, alohida miqdorlar o’rtasidagi tafovut (o’zgaruvchanlik) qanchalik kichik bo’lsa, ular asosida hisoblangan o’rtacha shuncha real bo’ladi va aksincha, ular o’rtasidagi tafovut qanchalik katta bo’lsa ular orasida hisoblangan o’rtacha shuncha ishonchsizroq, haqiqatdan uzoq bo’ladi. Masalan, o’rtacha miqdor 30 soni 1 songa 59 sonini qo’shib, natijani ikkiga bo’lish natijasida olinishi mumkin. Ravshanki, bu o’rtacha tipik va real o’rtacha bo’la olmaydi, chunki 1 bilan 29 o’rtasidagi tafovut juda ham kattadir. Shu o’rtacha, ya’ni 30 sonini 29 soniga 31 sonini qo’shib uni 2 ga bo’lish natijasida ham olishimiz mumkin. Albatta, bu o’rtacha oldinga nisbatan haqiqatga yaqinroq, chunki u alohida miqdorga yaqin.

Demak, ijtimoiy xodisalarni tahlil qilishda faqatgina umumlashtiruvchi ko’rsatkich – o’rtacha miqdorlarni hisoblash bilan cheklanmasdan balkim shu o’rtachadan alohida miqdorlarning qanchalik tafovutda bo’lganligini o’rganish uchun statistikada variasiya ko’rsatkichlari qo’llaniladi.

Statistikada variasiya ko’rsatkichlari deb o’rganilayotgan ijtimoiy xodisalarning birliklari o’rtasidagi tafovutni (farqlanishini), o’zgaruvchanligini tushunamiz.

Statistikada variasiya quyidagi ko’rsatkichlar yordamida ta’riflanadi (50-jadvalga karng).

50-jadval.

Variasiya ko’rsatkichlari.

Ko’rsatkichlar	Simvol	Hisoblash tartibi
		Oddiy qatorlarda	Vaznli qatorlarda
1. Variasion kenglik	R	R=Xmax- Xmin
2. O’rtacha mutlaq tafovut
3. O’rtacha kvadrat tafovut (dispersiya)
4. O’rtacha kvadratik tafovut
5. Variasiya koeffisiyenti	v

Endi, bu ko’rsatkichlarni birma-bir ko’rib chiqamiz:

• 
  Variasion kenglik (R). -O’rganilayotgan ijtimoiy xodisaning eng katta va eng kichik darajalari o’rtasidagi farq tushuniladi, ya’ni:
  

(29)

bu yerda:

X_max – o’rganilayotgan ijtimoiy xodisaning eng katta darajasi;

X_min – o’rganilayotgan ijtimoiy xodisaning eng kichik darajasi.

• 
  O’rtacha mutlaq tofovut ( ). -O’rganilayotgan ijtimoy xodisaning alohida miqdorlari bilan ularning o’rtacha miqdori o’rtasidagi farqlarning to’plamdagi birliklari soni yig’indisiga bo’lgan nisbat natijasidir, ya’ni:
  

(30)
a) - oddiy qatorlar uchun;

b) - vaznli qatorlar uchun.

bu yerda:

x – variasion qatorlarning alohida miqdorlari;

- ularning o’rtacha miqdori;

f – uning og’irligi (vazni);

- vaznlar yig’indisi.

• 
  Dispersiya ( ). – O’rganilayotgan ijtimoiy xodisalarning alohida miqdorlari bilan ularning o’rtacha miqdorlarining o’rtasidagi farqlar kvadratining to’plamdagi birliklar soni yig’indisiga bo’lgan nisbat natijasidir, ya’ni:
  

a) - vaznsiz qatorlar uchun;

(31)

b) - vaznli qatorlar uchun.

• 
  O’rtacha kvadratik tafovut ( ). – Dispersiyani kvadrat ildizdan chiqarish orqali hisoblanadi, ya’ni:
  

a) - vaznsiz qatorlar uchun;

(32)

b) - vaznli qatorlar uchun.

• 
  Variasiya koeffisiyenti (v). – O’rtacha kvadratik tafovutning ( ) o’rtacha miqdorga ( ) bo’lgan nisbat natijasiga teng, ya’ni:
  

(33)

Ayrim xollarda variasiya koeffisiyenti variasion kenglik va o’rtacha mutlaq tafovutlarga asoslanib ham hisoblanishi mumkin:

• 
  Variasion kenglik koeffisiyenti:
  

(34)

• 
  O’rtacha mutlaq tafovut koeffisiyenti:
  

(35)

Endi quyidagi qatorlar misolida variasiya ko’rsatkichlarini hisoblab chiqamiz (51-jadval):

51-jadval.

Ikkita chorvachilik fermasidagi sigirlarning kunlik sut sog’ilishi guruhlari bo’yicha taqsimlanishi.

Guruhlar soni	Sigirlarning kunlik sog’ilishi bo’yicha guruhlari, kg	O’rtacha kunlik sog’ilishi (x), kg	Sigirlar soni (f)
			Birinchi ferma bo’yicha	Ikkinchi ferma bo’yicha
1	6-8	7	40	-
2	9-11	10	50	110
3	12-14	13	70	60
4	17-15	16	30	30
5	18-20	19	10	-
Jami	-	-	200	200

Dastlab variasion kenglikni aniqlaymiz:

Shundan so’ng o’rtacha kunlik sut sog’ilishini o’rtacha arifmetik tortilgan formulasi orqali:

1 ferma uchun alohida:

kgni tashkil etadi.

2-ferma uchun alohida:

kg ni tashkil etadi.

Bu olingan ma’lumotlarni o’rtacha mutlaq tafovut formulasiga ko’yib hisoblashdan oldin ushbu formulani hisoblash uchun yordamchi jadval tuzib olamiz, ya’ni (52 va 53-jadvallar):

52-jadval.

Birinchi ferma bo’yicha hisoblangan ma’lumotlar.

Guruh-lar soni	Sigirlarning kunlik sog’ilishi bo’yicha guruhlari, kg	O’rtacha kunlik sut sog’ilishi, kg (x)	Sigir-lar soni (f)	O’rtacha-dan farqla-nishi	Mutlaq farqlanishi	Mutlaq vaznli farqla- nishi
1	6-8	7	40	-4,8	4,8	192
2	9-11	10	50	-1,8	1,8	90
3	12-14	13	70	+1,2	1,2	84
4	15-17	16	30	+4,2	4,2	126
5	18-20	19	10	+7,2	7,2	72
Ja-mi	-		200	-	-	564

kg ni tashkil etadi.

53-jadval.

Ikkinchi ferma bo’yicha hisoblangan ma’lumotlar.

Guruh-lar soni	Sigirlar-ning kunlik sog’ilishi bo’yicha guruhlari, kg	O’rtacha kunlik sut sog’ilishi, kg (x)	Sigir-lar soni (f)	O’rtachadan farqla-nishi	Mutlaq farqla-nishi	Mutlaq vaznli farqla- nishi
2	9-11	10	110	-1,8	1,8	198
3	12-14	13	60	+1,2	1,2	72
4	15-17	16	30	+4,2	4,2	126
Ja-mi	-		200	-	-	396

kgni tashkil etadi.

Ushbu hisoblangan ma’lumotlar shuni ko’rsatib turibdi-ki, bu ikkala fermada ham o’rtacha kunlik sut sog’ib olish bir xil bo’lsa-da (11,8 kg), lekin, birinchi fermadagi chetlanish ikkinchi fermadagi chetlanishga nisbatan yuqoriroqdir.

Endi o’rtacha kvadrat tafovut (dispersiya) va o’rtacha kvadratik tafovutni hisoblash uchun yordamchi jadvallar tuzib olamiz (54 va 55-jadvallar):

kg ni tashkil etadi.

kg ni tashkil etadi.

54-jadval.

Birinchi ferma bo’yicha hisoblangan ma’lumotlar.

Guruh-lar soni	Sigirlar-ning kunlik sog’ilishi bo’yicha guruhlari, kg	O’rtacha kunlik sut sog’ilishi, kg (x)	Sigir-lar soni (f)	O’rtacha-dan farqla-nishi	Chetlanish-ning kvadrati	Chetlanish-ning kvadrat-dagi vazni
1	6-8	7	40	-4,8	23,04	921,6
2	9-11	10	50	-1,8	3,24	162,0
3	12-14	13	70	+1,2	1,44	100,8
4	15-17	16	30	+4,2	17,64	529,2
5	18-20	19	10	+7,2	51,84	518,4
Jami	-		200	-	-	2232,0

55-jadval.

Ikkinchi ferma bo’yicha hisoblangan ma’lumotlar.

Gu-ruh-lar so-ni	Sigirlarning kunlik sog’ilishi bo’yicha guruhlari, kg	O’rtacha kunlik sut sog’ilishi, kg (x)	Sigir-lar soni (f)	O’rtacha-dan farqla-nishi	Chetla-nishning kvadratda	Chetlanish-ning kvadrat- dagi vazni
1	9-11	10	110	-1,8	3,24	346,4
2	12-14	13	60	+1,2	1,44	86,4
3	15-17	16	30	+4,2	17,64	529,2
Ja-mi	-		200	-	-	962,0

kg ni tashkil etadi.

kg ni tashkil etadi.

Nixoyat, variasiya koeffisiyentini hisoblaymiz:

% ni tashkil etadi.

% ni tashkil etadi.

% ni tashkil etadi.

% ni tashkil etadi.

% ni tashkil etadi.

Endi, yuqoridagi hisoblangan formulalarga qisqacha izoh berib o’tamiz:

1. Variasion kenglik formulasida tuzilgan qatorning ikkita chetki xadlariga asoslanganligi sababli, ayrim xollarda o’zgaruvchanlikni noto’g’ri ta’riflash mumkin. Bunday holat, odatda, chetki xadlar tasodifiy bo’lgan takdirda sodir bo’ladi. Bu formuladan qatorning xadlari bir-biridan unchalik katta miqdorda farq qilmaydigan sharoitlardagina foydalanish maqsadga muvofiqdir.

2. O’rtacha mutlaq formulasida alohida miqdorlar bilan ularning o’rtachasi o’rtasidagi farq yig’indisi hamma vaqt nolga teng bo’ladi. Shuning uchun o’rtacha mutlaq tafovutni hisoblashda farqlar ishorachasiga e’tibor berilmaydi, ular qavs ichiga olinmasdan to’g’ri chiziq ichiga olinadi. Natijada umumiy olingan yig’indi iqtisodiy real ma’noga ega bulmaydi. Shu sababli statistika amaliyotida bu ko’rsatkich deyarli qo’llanilmaydi. Uning o’rniga dispersiya, ya’ni o’rtacha kvadratik formulasi qo’llanilib kelinmoqda.

3. Dispersiya formulasini hisoblashda ayrim shartli momentlarga yo’l kuyiladi. Jumladan, o’rtasidagi tafovut kvadratga ko’tariladi. Bu bilan biz bir tomondan musbat ishorali tafovutga ega bo’lib, o’rtacha mutlaq tafovutni hisoblashdagi kamchilikni bartaraf qilsak ikkinchi tomondan, variasiya (o’zgaruvchanlik) darajasini ikki barbar kattalashtiramiz, chunki tafovutlar (farqlar) kvadratga ko’tariladi, so’ngra o’rtacha hisoblanadi.

4. O’rtacha kvadratik formulasida o’rganilayotgan ijtimoiy xodisa qanday birliklarda (mutlaq miqdordami, puldami natura yoki shartli naturadami) ifodalangan bo’lsa, o’rtacha kvadratik tafovut ham shunday birliklarda ifodalanadi. Bu esa turli xildagi xodisalar o’zgaruvchanligini qiyosiy tahlil qilishga imkon bermaydi. Masalan, jami chakana tovar aylanmasi uchun o’rtacha kvadratik tafovut 20 so’m va realizasiya qilingan non uchun esa bu tafovut 10 kg bo’lsa, bunday holda variasiyani qiyosiy tahlil qilish mumkin emas, chunki tafovutlar turli o’lchov birliklarida keltirilgan. Mana shu sababli o’zgaruvchanlikning qiyosiy jihatdan tahlil qilish maqsadida variasiya koeffisiyenti hisoblanadi.

5. Variasiya koeffisiyenti formulasida koeffisiyent qiymati foizda ifodalangan bo’lib, bilan orasida yotadi. U ga qanchalik yaqinlashsa, o’zgaruvchanlik shuncha kuchsiz va qanchalik ga yaqinlashsa, shunchalik o’zgaruvchanlikning kuchliligidan dalolat beradi.

Variasiya koeffisiyentini foizda ifodalash yordamida turlicha ifodalangan o’rtacha kvadratik tafovutlar bir xil asosga keltiriladi va shu tufayli turlicha xodisalar o’zgaruvchanligi qiyosiy tahlil qilinadi.

Agarda, normal taqsimlanish o’rganilayotgan o’rtacha ( ) ning nuktasiga nisbatan simmetrik bo’lishi bilan tavsiflansa, u holda uning balandligi egri chiziqning o’rtasida joylashadi. Shuning uchun ham haqiqiy taqsimlanishni normal taqsimlanish bilan taqqoslaganda assimetriyali taqsimlanishning borligi yoki yo’qligi aniqlanadi. Assimetriyali taqsimlanish simmetrikka nisbatan ko’proq uchraydi va uning balandligi egri chiziqning o’rtasida emas balkim yo chap tomonga, yo o’ng tomonga siljigan bo’ladi.

Agarda, balandlik chap tomonga siljigan bo’lsa, shuningdek, shu egri chiziqning o’ng qismi chap qismidan kattaroq bo’lsa, u holda bunday assimetriya chap tomonli assimetriya deb yuritiladi.

Agarda, balandlik o’ng tomonga siljigan bo’lsa, shuningdek, shu egri chiziqning chap qismi o’ng qismidan kattaroq bo’lsa, u holda bunday assimetriya o’ng tomonli assimetriya deb yuritiladi.

Bundan tashqari, egri chiziqli haqiqiy taqsimlanishni egri chiziqli normal taqsimlanish bilan taqqoslashni o’rganishda eksess ko’rsatkichi ham qo’llaniladi.

Eksess taqsimlanish deb, haqiqiy egri chiziqli taqsimlanishini egri chiziqli normal taqsimlanishiga nisbatan yuqori cho’qqili (balandli) yoki past cho’qqili (balandli) bo’lishiga aytiladi.

Yuqori cho’qqili (balandli) – bu ijobiy eksess degan ma’nosini bildirib, bunda – ( bo’lganda, bu yerda - - eksess) – uning vaznlari bir joyda to’planishni tavfsiflaydi.

Quyi cho’qqili (balandli) – bu salbiy eksess degan ma’noni bildirib ( bo’lganda, bu yerda - eksess) – uning vaznlari tarqoq holda joylashishini tavsiflaydi.

Simmetrik taqsimlanishda o’rta arifmetik moda va medianaga teng bo’lishi kerak. Agarda, ushbu tenglik bo’lmasa u xolda taqsimlanish assimetriyali bo’ladi va buni hisoblash uchun quyidagi formula qo’llaniladi.

,

bu yerda:

K_A – assimetriya koeffisiyenti.

Agarda, bo’lsa, K_A – ijobiy natija bo’lib, asimmetriyani o’ng tomonli bo’lishini tavsifaydi.

Agarda, bo’lsa, K­_A – salbiy natija bo’lib, assimetriyani chap tomonli bo’lishini tavsiflaydi.

Endi assimetriyali taqsimlanishning umumiy ko’rinishini 24 va 25-chizmalar orqali keltirib o’tamiz: