4-Maxzu. Variasiya ko’rsatkichlari

24-chizma. O’ng tomonli assimetriyali taqsimlangan vaznlar.

25-chizma. Chap tomonli assimetriyali taqsimlangan vaznlar.

Assimetriya tavsifi ayrim xollarda o’rganilayotgan ijtimoiy xodisalarnig rivojlanish yo’nalishini ko’rsatib turadi.

Agarda, variasiya belgilari bo’yicha ilmiy izlanish olib borilsa va shu olingan natijalar va (norma bajarilishi, mehnat unumdorligi, maxsulot ishlab chiqarish va hokazo) ijobiy natija bo’ladigan bo’lsa, u holda bu olingan natijalar ung tomonda joylashib bu holatni o’ng tomonli assimetriya progressiv holda rivojlanayotganligini ko’rsatsa, chap tomonli assimetriya esa shu o’rganilgan xodisalar bo’yicha qoloq uchastkalar borligini ko’rsatadi.

Agarda, variasiya belgilari bo’yicha ilmiy izlanish olib borilsa va shu olingan natijalar (tannarx, mehnat sig’imi, bir birlik maxsulotga xom-ashyo sarfi va hokazo) kamayishi orqali ijobiy natijaga erishilsa, u holda bu olingan natijalar chap tomonda joylashib bu holatni chap tomonli assimetriya progressiv holda rivojlanayotganligini ko’rsatsa, o’ng tomonli assimetriya esa shu o’rganilgan xodisalar bo’yicha ayrim kamchiliklar borligini ko’rsatadi.

Biz bu yerda assimetriyani faqatgina to’laligicha yagona tip (toifa) taqsimlanishi ko’rinishida bo’lishini ko’rib chiqdik. Ammo amaliyotda Sharlye, Puasson, Maksvell, Pirson kabilarning nomlari bilan ataluvchi taqsimlanish qatorlarining shakllari ham mavjuddir.

Endi ushbu taqsimlanish qatorlarining ayrim shakllari bilan tanishib chiqamiz.

Sharlye taqsimlanish qatorlari.

Assimetriya qatorlarini tekislashda shundy egri chiziq topilishi kerak-ki, bunda u ham assimetriya qatorlarni, ham eksess qatorni hisobga olish kerak bo’ladi. Buning uchun Sharlye taqsimlanish qatorlari formulasi qo’llaniladi:

(20)

bu yerda:

N – to’plamdagi jami miqdor;

h – interval oralig’i;

- normalashtirilgan uchinchi tartibli, momentli (assimetriyali qator ko’rsatkichi sifatida qatnashadi);

- eksess ko’rsatkichi;

- normalashtirilgan chetlanish (bundan (t) aniqlanadi).

Yuqorida ta’kidlab o’tilganidek, normal taqsimlaniщda r₃=0 va ga teng bo’ladi. Bu hisoblangan natijalarni yuqoridagi formulaga (20) qo’ysak, u holda ushbu formula quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi.

(21)

Demak, Sharlyenng ushbu formulasi normal taqsimlanishning assimetriya va eksess ko’rsatkichlari uchun tuzatilgan (korrektirovka) formula ko’rinishiga ega bo’ladi.

Puassonning taqsimlanish qatorlari.

Puasonning taqsimlanish qatorlari ham nazariy, ham amaliy jihatdan ilmiy ahamiyatg ega. Bu qatorlar diskret qatorlarni hisoblashda qo’llaniladi. Buni grafik ko’rinishida keltiramiz (26-chizmagan qarang):

26-chizma. Puasson qatorlarining taqsimlanishi.
Bu formula quyidagi ko’rinishga ega:

, bu yerda (22)

Ushbu formula shuni ko’rsatib turibdi-ki, bu taqsimlanish qatorlarning yagona parametrlari bo’lib o’rtacha arifmetik ( ) bo’lib hisoblanadi. Bu yerda ga tengdir. Ushbu formula quyidagicha hisoblanadi:

1. 
   Qatorning o’rta arifmetik darajasi hisoblanadi;
   
2. 
   Jadval bo’yicha ye^-a hisoblanadi;
   
3. 
   Har bir belgi (x) uchun uning nazariy vazni hisoblanadi.
   

bu yerda N – to’plam miqdori.

Ayrim xollarda, assimetriya va eksessning murakkab bo’lgan shartli uchinchi va turtinchi tartibli moment ko’rsatkichlari ham qo’llaniladi.

Assimetriyali uchinchi tartibli moment formulasi quyidagi ko’rinishga ega:

( ) (23)

bu yerda:

M₃ – markaziy uchinchi tartibli moment;

- o’rtacha kvadratik chetlanishning kubi;

r₃ – shartli uchinchi tartibli moment.

Bu yerda, (ishorasidan qat’iy nazar) u holda assimeriyani muhimligini ko’rsatadi.

Eksessning shartli tartibli moment formulasi quyidagi ko’rinishga ega:

(24)

bundan ga teng bo’ladi.

Bu yerda ushbu formula - eksessning (25)
normalashtirilgan 4 tartibli momenti deb yuritiladi. Ushbu formulaning haqiqiy 3 dan farqi, eksessning qatorining darajasini keltirib chiqaradi, ya’ni:

(26)

bu yerda:

M₄ – markaziy to’rtinchi tartibli moment;

- o’rtacha chetlanishning to’rtinchi darajasi;

r₄ – shartli to’rtinchi tartibli moment.

Bundan tashqari, statistikada haqiqiy taqsimlanishni normal taqsimlanishga qanchalik to’g’ri kelishini o’rganish uchun Rozilik kriteriyasi (mezon yoki o’lchov) ko’rsatkichi ham qo’llaniladi.

Hozirgi kunda amaliyotda Pirson (X_i – kvadrat kriteriyasi), Romanova, Kolmogorov va Yastremskiylarning nomlari bilan ataluvchi Rozilik kriteriyasi qatorlarining shakllari ham mavjuddir.

Endi ushbu Rozilik kriteriyasi qatorlarining ayrim shakllari bilan tanishib chiqamiz.

A.N.Kolmogorovning – Rozilik kriteriyasining qatorlari.

Bu – Rozilik kriteriyasi bo’yicha variasion qatorda kumulyativ vaznlarni taqqoslash natijasida haqiqiy va nazariy taqsimlanishning yaqinligi ko’rib chiqiladi. Bu ko’rsatkichni quyidagi formula shaklida keltirib o’tamiz:

(27)

bu yerda:

– Kolmogorovning rozilik kriteriyasi;

D – haqiqiy va nazariy kumulyativ vaznlarning farqi;

N – kuzatish soni.

Demak, haqiqiy taqsimlanishni normal taqsimlash bilan taqqoslanishini o’rganish orqali ularning faqatgina Rozilik kriteriyasini aniqlamasdan balkim ularning bir-biridan farqlanish tavsifini ham o’rganib chiqish katta ahamiyatga egadir.

Pirson (X_i – kvadrat) kriteriyasining qatorlari.

Ushbu formula quyidagi ko’rinishga egadir.

(28)

bu yerda:

f(w) – empirik vaznlar;

f¹(w¹) – nazariy vaznlar.

Nazariy vaznlar quyidagi formula orqali aniqlanadi:

bu yerda: (t) – me’yorlashtirilgan normal taqsimlanishning funksiya zichligi.

Bundan - ,

bu formuladan:

Bu formula orqali asosan biron bir maxsulot to’rini xodimlar tomonidan ishlab chiqarish normasining bajarilishini tahlil etishda qo’llaniladi.