“Ehtimollik va statistic modellar” fanidan onlen leksiyalar

Пример 9. (Испытание гипотезы о нормальности распределения). Пользуясь критерием , при уровне надежности установить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности с данными выборки объема n=100:

номер интервала	границы интервала		Частота	номер интервала	границы интервала		Частота
i	xi	xi+1	ni	i	xi	xi+1	ni
1	3	8	6	5	23	28	16
2	8	13	8	6	28	33	8
3	13	18	15	7	33	38	7
4	18	23	40

Решение: Найдем середины частичных интервалов ; в качестве частоты варианты примем число вариант, которые попали в i - й интервал. В итоге получим распределение:





Вычислим выборочную среднею и выборочное среднее квадратическое отклонение:



Нормируют случайную величину X, т.е. переходят к случайной величине и вычисляют концы интервалов и .
Вычисляют теоретические вероятности попадания Х в интервалы по равенству:
,


где Ф(z) - интегральная функция Лапласа, значения которой приведены в приложении в таблице №4. Причем наименьшее значение Z, т.е. полагают равным , а наибольшее, т.е. полагают равным .


Например:

Аналогично вычисляются остальные теоретические вероятности. Ниже приведены результаты вычислений:

i	границы интервала		Ф (z i)	Ф (zi+1)	pi = Ф (z i) - Ф (z i+1)
	zi	zi=1
1 2 3 4 5 6 7	- -1,74 -1,06 -0,37 0,32 1,00 1,69	-1,74 -1,06 -0,37 0,32 1,00 1,69	-0,5 -0,4591 -0,3554 -0,1443 0,1255 0,3413 0,4545	-0,4591 -0,3554 -0,1443 0,1255 0,3413 0,4545 0,5	0,0409 0,1037 0,2111 0,2698 0,2158 0,1132 0,0455

Найдем значение статистики , для чего составим следующую расчетную таблицу:

i	pi	npi=100pi	ni	ni - npi	(ni - npi)^2
1 2 3 4 5 6 7	0,0409 0,1037 0,2111 0,2698 0,2158 0,1132 0,0455	4,09 10,37 21,11 26,98 21,58 11,32 4,55	6 8 15 40 16 8 7	1,91 -2,37 -6,11 13,02 -5,58 -3,32 2,45	3,648 5,617 37,332 169,52 31,136 11,02 6,002	0,89 0,54 1,77 6,28 1,44 0,97 1,32

Нормальное распределение имеет параметра, т.е. , поэтому число степеней свободы . Найдем по таблице №9 (см. Приложение) критических значений распределения значение . Так как , то надежностью 95% отвергается гипотеза Н_О.
Вывод: Гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности не согласуется с данными выборки.


Задания для закрепления:

1. 
   (Испытание гипотезы о распределении). Часы, выставленные в витринах часовых мастерских, показывают случайное время. Некто наблюдал показания 500 часов и получил следующие результаты:
   

i	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
vi	41	34	54	39	49	45	41	33	37	41	47	39

где i - номер промежутка от i -го часа до (i+1) - го, i = 0,1,...,11; а v_i - число часов показания которых принадлежали i - ому промежутку. Согласуются ли эти данные с гипотезой Н₀ о том, что показания часов равномерно распределены на интервале (0;12)? Принять .

Ответ: Согласуются. .
15. (Испытание гипотезы о нормальности распределения). Распределение числового признака Х в выборке определяется следующей таблицей:

3,0-3,6	3,6-4,2	4,2-4,8	1,8-5,2	5,4-6,0	6,0-6,6	6,6-7,2
2	8	35	43	22	15	5

При уровне значимости верна ли гипотеза о нормальности распределения Х в генеральной совокупности.

Ответ: согласуются.
16. (Испытание гипотезы о нормальности распределения). Пользуясь критерием , при уровне надежности установить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности с данными выборки объема n=100:

номер интервала	границы интервала		Частота	номер интервала	границы интервала		Частота
i	xi	xi+1	ni	i	xi	xi+1	ni
1	-20	-10	20	5	20	30	40
2	-10	0	47	6	30	40	16
3	0	10	80	7	40	50	8
4	10	20	89

Ответ: Согласуется.
17-Занятие. Коэффициент регрессии. Уравнение линейной регрресии.
Линейная регрессия Y на Х имеет вид:
,
где MX, MY - математические ожидания, - средние квадратичные отклонения, - коэффициент корреляции случайных величин X и Y.
Коэффициент называют коэффициентом регрессии Y на Х , а прямую
называют прямой регрессии. Величину называют остаточной дисперсией случайной величины Y относительно случайной величины Х; она характеризует величину ошибки, которую допускают при замене Y линейной функцией . При остаточная дисперсия равна нулю и величины Y и Х связаны линейной функциональной зависимостью.
Аналогично можно получить прямую регрессии Х на Y :

( коэффициент регрессии Х на Y) и остаточную дисперсию величины Х относительно Y.
Если , то обе прямые регрессии и совпадают. Из уравнений регрессии следует, что обе прямые регрессии проходят через точку (MX,MY) - центр рассеивания двумерной случайной величины (Х,Y).

Решение типовых примеров:

Пример 1. Найти уравнение прямой регрессии Y на Х для дискретной двумерной случайной величины (X,Y) из примера 1, §2.7.
Двумерная дискретная случайная величина задана следующим законом распределения:

X Y	x1=2	x2=5	x3=10
y1=1	0,30	0,10	0,10
y2=4	0,15	0,25	0,10

Решение. Как уже известно законы распределения составляющих Х и Y:
X x₁=2 x₂=5 x₃=10 Y y₁=1 y₂=4
P 0,45 0,35 0,20 P 0,50 0,50
Математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение составляющих Х и Y равны


Найдем коэффициенты ковариации и корреляции
.
.
Коэффициент регрессии Y на Х равен:

и следовательно, уравнение прямой регрессии имеет следующий вид:
или .
Остаточная дисперсия случайной величины Y относительно величины Х равна .
Ответ: ; .


Пример 4. Двумерная случайная величина (X,Y) задана плотностью совместного распределения : в квадрате ; вне этого квадрата f(x,y)=0. Найти уравнение прямой и обратной регрессии .
Решение: Найдем математическое ожидание составляющей Х:
.
и дисперсию:
.
Дважды интегрируя по частям, находим
Аналогично находятся ;
Найдем коэффициент ковариации:

.
Следовательно, коэффициент корреляции равен:
.
Найдем коэффициент прямой регрессии Y на Х:

и уравнение прямой регрессии :
или .
Остаточная дисперсия случайной величины Y относительно случайной величины Х равна: .
Аналогично находим уравнение обратной регрессии Х на Y:
Найдем коэффициент регрессии Х на Y:
и уравнение обратной регрессии ;
.
Остаточная дисперсия случайной величины Х относительно случайной величины Y равна: .
Ответ: Уравнение прямой регрессии:
Уравнение обратной регрессии:


Задания для закрепления:
1. Найти уравнение прямой и обратной регрессии для дискретной двумерной случайной величины из задания 1 настоящего параграфа, т.е. закон распределения случайной величины (X,Y) :

X Y	-1	0	1
0	0,10	0,15	0,20
1	0,15	0,25	0,15

Ответ: уравнение прямой регрессии: ,

остаточная дисперсия ;
уравнение обратной дисперсии: ,
остаточная дисперсия .

4. Найти уравнение прямой и обратной регрессии для дискретной двумерной случайной величины из задания 2 настоящего параграфа, т.е. двумерная случайная величина (X,Y) подчинена закону распределения с плотностью в области D и равна нулю вне той области. Область D - треугольник, ограниченный прямыми .

Ответ: уравнение прямой регрессии: ,
уравнение обратной регрессии: ,
остаточные дисперсии: .
Asosiy adabiyotlar

1. 
   Ш.Қ. Форманов “Эҳтимолликлар назарияси”, Тошкент “Университет” 2014 й.
   
2. 
   И.А.Палий. Прикладная статистика. Учебное пособие. М.: Издательско-торговая корпорация. «Дашков и К», 2010. – 224с.
   
3. 
   Гмурман В.Е. «Эҳтимоллар назарияси ва математик статистикадан масалалар ечишга доир қўлланма», Тошкент, «Ўқитувчи», 1980 й.