“Ehtimollik va statistic modellar” fanidan onlen leksiyalar

Решение. Как уже известно законы распределения составляющих Х и Y:
X x₁=2 x₂=5 x₃=10 Y y₁=1 y₂=4
P 0,45 0,35 0,20 P 0,50 0,50
Математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение составляющих Х и Y равны


Найдем коэффициенты ковариации и корреляции
.
.
Коэффициент регрессии Y на Х равен:

и следовательно, уравнение прямой регрессии имеет следующий вид:
или .
Остаточная дисперсия случайной величины Y относительно величины Х равна .
Ответ: ; .


Пример 4. Двумерная случайная величина (X,Y) задана плотностью совместного распределения : в квадрате ; вне этого квадрата f(x,y)=0. Найти уравнение прямой и обратной регрессии .
Решение: Найдем математическое ожидание составляющей Х:
.
и дисперсию:
.
Дважды интегрируя по частям, находим
Аналогично находятся ;
Найдем коэффициент ковариации:

.
Следовательно, коэффициент корреляции равен:
.
Найдем коэффициент прямой регрессии Y на Х:

и уравнение прямой регрессии :
или .
Остаточная дисперсия случайной величины Y относительно случайной величины Х равна: .
Аналогично находим уравнение обратной регрессии Х на Y:
Найдем коэффициент регрессии Х на Y:
и уравнение обратной регрессии ;
.
Остаточная дисперсия случайной величины Х относительно случайной величины Y равна: .
Ответ: Уравнение прямой регрессии:
Уравнение обратной регрессии:


Задания для закрепления:
1. Случайная точка (X,Y) на плоскости распределена по следующему закону:

X Y	-1	0	1
0	0,10	0,15	0,20
1	0,15	0,25	0,15

Найти числовые характеристики (X,Y),

Ответ:

2. 
   Двумерная случайная величина (X,Y) подчинена закону распределения с плотностью в области D и равна нулю вне той области. Область D - треугольник, ограниченный прямыми . Найти величину А, математические ожидания MX, MY, дисперсии DX, DY,
   
3. 
   Ответ: ,
   
4. 
   

3. Найти уравнение прямой и обратной регрессии для дискретной двумерной случайной величины из задания 1 настоящего параграфа, т.е. закон распределения случайной величины (X,Y) :

X Y	-1	0	1
0	0,10	0,15	0,20
1	0,15	0,25	0,15

Ответ: уравнение прямой регрессии: ,

остаточная дисперсия ;
уравнение обратной дисперсии: ,
остаточная дисперсия .

4. Найти уравнение прямой и обратной регрессии для дискретной двумерной случайной величины из задания 2 настоящего параграфа, т.е. двумерная случайная величина (X,Y) подчинена закону распределения с плотностью в области D и равна нулю вне той области. Область D - треугольник, ограниченный прямыми .

Ответ: уравнение прямой регрессии: ,
уравнение обратной регрессии: ,
остаточные дисперсии: .