“Ehtimollik va statistic modellar” fanidan onlen leksiyalar

Решение типовых примеров:

Пример 1. Двумерная случайная величина (X,Y) задана плотностью распределения:

Доказать, что Х и Y - зависимые некоррелированные случайные величины. Решение: Воспользуемся ранее вычисленными плотностями распределения составляющих X и Y (пример 7,(2.7):

Так как , то X и Y зависимые величины. Для того, чтобы доказать некоррелированность Х и Y , достаточно убедиться в том, что . Найдем коэффициент ковариации по формуле:

Поскольку функция симметрична относительно оси ОY, то MX=0; аналогично, MY=0.
Следовательно, .
Вынося постоянный множитель f(x,y) за знак интеграла, получим:
.
Внутренний интеграл равен нулю (подынтегральная функция нечетна, пределы интегрирования симметричны относительно начала координат), следовательно,
, т.е. случайные величины Х и Y некоррелированы.
Пример 2. Найти коэффициенты ковариации и корреляции для двумерной случайной величины (X,Y) из примера 8, §2.7.
Двумерная случайная величина (X,Y) задана плотностью совместного распределения f(x,y):

Решение: Плотности распределения составляющих были найдены:
; .
Числовые характеристики оказались равны:
; ; .
Найдем коэффициенты ковариации и корреляции:

Интегрируя по частям и учитывая, что (интеграл Пуассона), находим:

Следовательно, .
Ответ: , .


Пример 3. Найти уравнение прямой регрессии Y на Х для дискретной двумерной случайной величины (X,Y) из примера 1, §2.7.
Двумерная дискретная случайная величина задана следующим законом распределения:

X Y	x1=2	x2=5	x3=10
y1=1	0,30	0,10	0,10
y2=4	0,15	0,25	0,10