Egri chiziqli integrallar va ularning tatbiqlari

4-misol. , ikkinchi tur egri chiziqli integralni hisoblang, bunda
- aylana.
Yechish. Aylananing parametrik tenglamasidan foydalanamiz




(17) shart bo‘yicha tekshiramiz


integral ostidagi ifoda funksiyaning to‘liq differensiali
.
Lekin yopiq kontur bo‘yicha olingan integral nolga teng emas.
Demak, bundan kelib chiqadiki funksiyalar nuqtada uzluksiz emas.
5-misol. Ostrogradskiy - Grin formulasi yordamida quyidagi ikkinchi tur egri chiziqli integralni hisoblang
.
Bunda - uchlari nuqtada bo‘lgan to‘g‘ri to‘rtburchak (9-rasm).
Yechish. Berilgan integralni Ostrogradskiy - Grin formulasiga keltiramiz


,
,

9-rasm


.

Bunda soha, kontur yoki to‘rtburchak bilan chegaralangan. Ikki karrali integralni to‘rtburchak bo‘yicha hisoblaymiz

6-misol. Quyidagi ikkinchi tur egri chiziqli integralni hisoblang
.
Bunda - va nuqtalarni tutashtiruvchi to‘g‘ri chiziq kesmasi.
Yechish. Bu integral (22) ko‘rinishdagi integral bo‘lib
.
Bulardan
,
u holda (21) shart bajariladi.
Demak, berilgan integral, integrallash yoliga bog‘liq emas ekan.
va nuqtalardan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziqning parametrik ko‘rinishidagi tenglamasi quyidagicha bo‘ladi

shuning uchun va kesmada .
U holda





Mustaqil yechish uchun misollar
Quyidagi ikkinchi tur egri chiziqli integrallarning inegrallash yoliga bog‘liq yoki bog‘liq emasligini tekshiring.
1. . (jav.bog‘liq emas)
2. . (jav.bog‘liq)

Quyidagi ikkinchi tur egri chiziqli integrallarni ko‘rsatilgan hollar bo‘yicha hisoblang.

3.
1) - va nuqtalarni tutashturuvchi to‘g‘ri chiziq kesmasi.
2) - egri chiziq.
3) - egri chiziq.
4) - egri chiziq.

Quyidagi to‘la differensiallardan olingan integrallarni hisoblang.

4. (jav. ).
5. . (jav. ).

Ostrogradskiy - Grin formulasidan foydalanib, integrallarni hisoblang.

7. , bunda - aylana. (jav. .
8. bunda - ellips. (jav. ).