Egri chiziqli integrallar va ularning tatbiqlari

3-§. Ostrogradskiy - Grin formulasi. Egri chiziqli integralning integrallash yoʻliga bogʻliq boʻlmaslik sharti

Biror tekis soha bo‘yicha olingan ikki o‘lchovli integral bilan shu sohaning chegarasi bo‘yicha olingan egri chiziqli integral orasidagi munosabatni aniqlaymiz. tekislikda yopiq kontur bilan chegaralangan yonalishida ham, o‘q yonalishida ham to‘g‘ri bo‘lgan yopiq soha berilgan bo‘lsin. sohada uzluksiz hususiy hosilalarga ega bo‘lgan uzluksiz funksiyalar berilgan bo‘lsin. U holda quyidagi tenglik bajariladi

. (16)
Bu formula Ostrogradskiy - Grin formulasi deyiladi.
Agar funksiyalar sodda silliq yopiq chiziqni o‘z ichiga butunlay oluvchi sohada uzluksiz hususiy hosilalarga ega bo‘lgan uzluksiz funksiyalar bo‘lsa va faqat
(17)
shart bajarilsa, u holda egri chiziqli integral
(18)
integrallash yoliga bog‘liq bo‘lmaydi.
(17) shartning bajarilishi, integral ostidagi ifoda biror funksiyaning to‘liq differensiali bo‘lishi bilan teng kuchli

(19)
bunda - boshlang‘ich, - oxirgi integrallash yolining nuqtalari.
Xususiy holda (17) shart bajarilganda, yopiq kontur bo‘yicha olingan egri chiziqli integral no‘lga teng bo‘ladi, ya’ni
(20)
Xuddi yuqoridagidek, agar funksiyalar, sodda silliq yopiq chiziqni o‘z ichiga butunlay oluvchi sohada uzluksiz hususiy hosilalarga ega bo‘lgan uzluksiz funksiyalar bo‘lsa va faqat
(21)
shartlar bajarilsa, u holda egri chiziqli integral
(22)
integrallash yoliga bo‘g‘liq bo‘lmaydi.
(21) shartning bajarilishidan esa

(23)
ekanligi kelib chiqadi va
(24)
bo‘ladi.
Birinchi va ikkinchi tur egri chiziqli integrallarning o‘zaro bo‘g‘liqligi quyidagi formulada ko‘rish mumkin
. (25)
Bunda - koordinata o‘qlari bilan integrallash yonalishi bo‘yicha yo‘nalgan urinmalar orasidagi burchaklar.