Dunyoda ikki turli inson haqiqiy inson sanaladi: biri o’rgatuvchi, biri o’rganuvchi

3-§. Uch karrali integrallar
f(x , y , z) funksiya fazosida chegarallangan (V) soxada berilgan bo`lsin .
Bu funksiyaning (V) soxa bo`yicha uch karrali integrallar tushunchasi 1-§ da
keltirilgan ikki karrali integrallarga o`xshash kiritiladi .(V) soxaning p bo`yicha qaraylik . Bu bo`lishning har biri ( ) (k = 1 , 2 …..n) bo`lagida ixtiyoriy ( ) nuqta olib , quydagi
( ) .
Integral yig`indi tuzamiz , bunda ning xajmi .
4- tarif . olinganda ham , shunday topiladiki (V) soxaning deametri bo`lgan har qanday bo`linishda xamda har bir ( ) bo`lakdagi ixtiyoriy ( ) nuqtalar uchun

Tengsizlik bajarilsa , u xolda I ga f(x , y , z) funksiyaning (V) bo`yicha uch karrali integrali deyiladi va u
x , y ,z )dV x , y ,z )dxdydz)
Kabi belgilanadi.
Demak
x , y ,z )dxdydz =lim ( ) .
Uch karrali integrallarning mavjudligi , integrallanuvchi funksiyalar sinfi va integral xossalariga oid teoremalar xuddi ikki karrali integrallardagi kabi bo`ladi
f(x ,y, z) funksiya
(V) =
Soxada berilgn va uzluksz bo`lsin , U xolda
x , y ,z )dxdydz =
Endi (V) soxa pastan z= , yuqoridan sirtlar bilan , yon tomondan Oz o`qiga parallel silindirik sirt bilan chegaralangan soxa bo`lsin . Bu soxaning Oxy tekisligiga proeksiyasi (D) bo`lsin.
Agar f(x , y , z) funksiya shunday (V) soxada uzluksz bo`lib , z= , (i= 1, 2) funksiyalar (D) da uzluksz bo`lsa , u xolda
x , y ,z )dxdydz =
Bo`ladi.
Agar (D) =
Bo`lib (I = 1 , 2) funksiyalar da uzluksz bo`lsa , u holda
x , y ,z )dxdydz =
bo`ladi .
f(x ,y , z) funksiya (V) soxada berilgan va uzluksiz bo`lib , (V) soxa - sillik yoki bo`lakli silliq sirtlar bilan chegaralangan bo`lsin .
x , y ,z )dxdydz integralda o`zgaruvchilarni quydagicha almashtiramiz :
(4)
(4) akslantirish 1-§ 4- punktda keltirilgan 1 - 2 kabi shartlarni qanoatlantirsin . U holda
x , y ,z )dxdydz = ,
dudvdw (5)
Bo`ladi , bunda
I(u , v , w) =
(5) fo`rmula uch karrali integrallarga o`zgaruvchilarni almahtirish fo`rmulasidir .
Ko`pchilik hollarda uch karrali intedrallarni xisoblash uchun o`zgaruvchilarni quydagicha almashtirish maqsadga muvofiq bo`ladi .

1. 
   Quydagi
   

x = rcos , y = r sin , z = z (6)
almashtirish qaraylik (0 ), (0 ), ( ).
natijada (5) fo`rmula ushbu
x , y ,z )dxdydz = r , z )drd dz
ko`rinishni oladi .
Odatda (6) almashtirish silindirik almashtirishlar (r , ,z) esa nuqtaning silindirik koordinatalari deyiladi.
Ushbu
X = psin cos , y = psin sin , z = pcos (7) almashtirish qaraylik (0 ), (0 ), ( ). U xolda (5) fo`rmula quydagi ko`rinishni oladi:
x , y ,z )dxdydz =
Odatda (7) almashtirish sferik almashtirishlar ( esa nuqtaning sferik koordinatalari deyiladi.
21-misol. Ushbu
dv
Integralni tarif buyicha xisoblang. Bunda (V) soxa + + silindrlar,
Yarim tekisliklar va ikkita Tekisliklar bilan
Chegaralangan
Silindrik koordinatalar sistemasida silindrlar yarim tekisliklar tekisliklar esa ko’rinishiga ega bo’ladi. Qaralayotgan integralda funksianing uzliksizligini xisobga olib , yana entegralni Mavjudligidan foydalangan holda integral yig’indi tuzamiz. (V) soxani quyidagi bo’linishini qaraymiz;

1. 
   yoki
   
2. 
   
   
3. 
   , ) sohachaning hajmi =
   

bo`ladi.
f(x , y , z) = funksiya (r , ) sistemada
f(r , )= ko`rinishini oladi .
Endi integral yig`indini tuzamiz.
x .
Bu tenglikning o`ng tomonidagi yig`indilarni aloxida aloxida xisoblaymz:
= *( ) = = (b - a) ;
=

Endi n da limitga o`tib , topamz:

Demak
.
22-misol. Ushbu
I =
Integralni xisoblang . Bunda (V) soxa x+y+z=1, x=0,y=0, z=0 tekislik bilan chegaralangan , p,q,r,s >0
Qaralayotgan integralda

almashtirish bajaramiz .
va larning eng kichik qiymtlari 0 bo`lgani uchun munasabatdan ekanligini topamiz . Demak , ning tayinlangan qiymatida ning eng katta qiymati ga teng , bundan . Xuddi shunga o`xshagan
bo`ladi.
Shunday qilib,


bo`lib ,Yakobion esa

I =
=
=



= .
23-misol . Ushbu
I =
Intedralni xisoblang . Bunda (V) soxa , sirt bilan chegaralangan .
(V) ni cegaraalab turgan sirtlar o`qi atrofida aylantirishdan xosil bo`lgan aylanma sirtlar bo`lgani uchun meridian kesimning chizmasini qaraymz (12-chizma)
=az va sirtlar ushbu aylana bo`yicha kesishadi .
(V) soxaning o`qiga proeksiyasi intervaldan iborat , tekisligiga proeksiyasi esa doiradan iborat tekislik (V) ni ichki radiusi , tashqi radiusi bo`lgan doiraviy xalqa bo`lib kesadi .
Demak ,
(V) =

Bu yerda

Silindirik koordinatalarga o`tib , topamiz:
I =
I =
Demak
I =
24-misol. Ushbu
, ,
Sirtlar bilan chegaralangan soxa xajmini toping .
Malumki , izlanayotgan xajm
V =
Fo`rmula orqali topilib , bunda (V) yuqorida berilgan sirtlar bilan chegaralgandir .
Sfirik koordinatalar sistemasidan foydalanamiz :
V = = V =
( )=
V = =
= (kup.bir)