Dunyoda ikki turli inson haqiqiy inson sanaladi: biri o’rgatuvchi, biri o’rganuvchi

2 – tarif . yig`indilar mos ravishda funksiyaning (D) soxadagi quyi ikki karrali hamda yuqori ikki karrali integrallari deb taladi.
3- tarif .Agar funksiyaning (D) soxadagi quyi ikki karrali xamda yuqori ikki karrali integrallari bir –biriga teng bo`lsa u xolda funksiya (D) sohada integrallanuvchi , umumiy qiymati

funksiyaning (D) soxadagi ikki karrali integrallari (Riman integrali ) deyiladi va

kabi belgilanadi.
2 . Ikki karrali integrallari mavjudligi. Intengrallanuvchi funksiyalar sinfi.
1 – teorema . f(x , y) funksiya (D) soxada integrallanuvchi bo`lishi uchun , olinganda ham shunday topilib , (D) soxaning diametri 𝜆< bo`lgan har qanday bo`linishga nisbatan Davriy yig`indilari
S(f) – s(f) <
Tengsizlikni qanoatlantirishi zarur va yetarli.
2 – teorema . Agar f(x , y) funksiya chegaralangan yopiq (D) soxada berilgan va uzluksiz bo`lsa , u shu soxada integrallanuvchi bo`ladi .
3 – teorema .Agar f(x , y) funksiya (D) soxada chegaralangan va bu soxa chekli sondagi nol yuzali chiziqlarida uzulishlarga ega bo`lib , qolgan barcha nuqtalarda uzliksiz bo`lsa , funksiya (D) soxada integrllanuvchibo`ladi .
Ikki karrali integral yordamida tekis shakilning yuzi ,jismning hajmini topish mumkin . Integral tarifidan bevosita (D) shakilning yuzi
D= dy
bo`lishi kelib chiqadi.
1 – misol .Ushbu
dD (D) =
Integralni 1 – tarif yordamida hisoblang .
Ravshanki f(x,y) =xy funksiya (D) da uzluksiz , demak 2 – teoremaga ko`ra , u (D) da integrallanuvchi bo`ladi . (D) soxani , y = (I , j = ) chiziqlar yordamida bo`laklarga ajratamiz va har bir da , deb qaraymiz u holda

bo`ladi. Bundan esa n va 𝜆 bo`lsa
Demak,

2- misol . Ushbu

Integralni 3 – tarif yordamida hisoblang , bunda D =
(D) soxani x= 1+ y = 1 + (I =1 , n-1) chiziqlar yordamida bo`laklarga ajratamiz
;
(xy)=
(xy) = ( )( ) ;
S(f) = = = = ;
s(f)= = = = ;
sup=
inf
ekanligidan

munosabat kelib chiqadi .
3 . Ikki karrali integrallar xossalari . Ikki karrali integrallarni xisoblash .

1. 
   f (x , y) funksiya (D) soxada intengrallanuvchi bo`lsin Bu funksiya (D) soxada tegishli bo`lgan no`l yuzani L chiziqdagi (R⊂(D)) qiymatlarinigina o`zgartirishdan xosil bo`lgan F(x , y) funksiya ham (D) soxada intgrallanuvchi bo`lib
   

dD= dD
bo‘ladi.

2. 
   funksiya (D) soxada berilgan bo`lib (D) soxa no`l yuzi L chiziq bilan ( ) va ( ) soxalarga ajralgan bo`lsin . Agar funksiya (D) soxada integrallanuvchi bo`lsa , u ( ) va ( ) soxalarda integrallanuvchi bo`ladi va
   

dD = d( ) d( )