Dunyoda ikki turli inson haqiqiy inson sanaladi: biri o’rgatuvchi, biri o’rganuvchi

2-§. Ikki karrali integrallarda o’zgaruvchilarni almashtirish.
Oxy hamda Ouv koordinatalar sistemasida mos ravishda (D) va ( sohalarni qaraylik. Bu sohalarning chegaralari sodda, bo’lakli-silliq chiziqlardan iborat bo’lsin.
f(x,y) funksiya (D) sohada berilgan va uning chekli karrali integrali

mavjud bo’lsin. Bu integralda o’zgaruvchini quyidagicha almashtiramiz:

(2) akslantirish quyidagi shartlarni qanoatlantirsin:
1⁰. ( ni (D) ga o’zaro bir qiymatli akslantiradi.
2⁰. funksiyalar ( sohada uzluksiz, barcha xususiy hosilalarga ega va bu xususiy hosilalar ham uzluksiz.
F(x,y) funksiya (D) sohada berilgan va uzluksiz bo’lib, (2) akslantirish 1⁰-2⁰ shartlarni qanoatlantirsin. U holda

formula o’rinli, bu yerda
(2) sistemaning Yakobianidir.
(3) formula ikki karrali integrallarda o’zgaruvchini almashtirish formulasi deyiladi.
8-misol. Ushbu

integral hisoblang.
Bunda ( ²: integrallash sohasini chizmada ifodalaymiz (7-chizma).


almashtirishni bajaramiz.Natijada berilgan sohaning obrozi

bo’lib, Yakobian esa

ga teng bo’ladi
Demak,

9-misol. Ushbu

Integralda qutb koordinatalar sistemasiga o’tib, uni takroriy integralga keltiring.

almashtirish natijasida topamiz:


10-misol.Ushbu

integralni hisoblang.
9-misoldan foydalangan holda, integrallash sohasi halqa ekanligini e’tiborga olib,topamiz:

11-misol. Ushbu

integralni hisoblang. Bu yerda

Quyidagi
,
almashtirishni bajaramiz. Qaralyotgan sohaning obrazi quyidagicha
.
bo’ladi. Yakobian esa:

bo’ladi.

12-misol. Ushbu

integralni hisoblang.
Integral ostidagi funksiyaning xossasidan foydalanib, integralni quyidagi ko’rinishda yozib olamiz

Bu integrallarda qaralyotgan sohani chiziq yordamida ikki bo’lakka ajratamiz, ularning birida musbat, ikkinchisida esa manfiy bo’ladi (8-rasm).
Demak,

13-misol. Ushbu
integral hisoblansin.
Integrallash sohasi tekislikda parabola va to’g’ri chiziq bilan chegaralangandir. 3-teoremaga ko’ra qaralyotgan integral mavjud bo’lib,

bo’ladi (9-chizma). Soha o’qiga nisbatan simmetrikdir.
Demak,

sohaning yuzasida tengligini hisobga olib, topamiz:



Shunday qilib,

14-misol. Ushbu

integralni hisoblang.
Integrallash sohasi koordinata o’qlariga nisbatan simmetrikdir. Ikkinchi tomondan, funksiyasi koordinata tekisligining har bir choragida joylashgan sohasi teng qiymat qabul qiladi.
Demak,