Differensial tenglamalar kafedrasi

_mJI Jp^(s)e

-аду^-ад


Л

^sds

J

⁾dЛ


e


-(Ла )²1+гЛх


dЛ ■


+ад/"+ад \

(Ла )²1+Л( x-s)


ibJIJ e

-Ю\ -ад


J


p( s)ds.

( 1.2.9) Koshi masalasi yechimini hosil qilamiz

O
1 +ад 1 _(x—s)<sup>2

1</sup> ' е^{лЛ )2 t+a( x—s} Ш= 1 e


4a2


2m -


ад


2л/


ma ²t


(1.2.16)

xirgi tenglikdagi ichki integralni hisoblaymiz:

N
1


+ад


( x-s )² 4a²t


u(x,t) = —, Je ^4Л p(s)ds

2dm²t -to


(1.2.17)

atijada qaralayotgan Koshi masalasi yechimi uchun quyidagi integral tasvirni olamiz

Ba’zan (1.2.8)-( 1.2.9) Koshi masalsining topilgan (1.2.17) ko’rinishdagi yechimini

+ад

u
(1.2.18)

(x, t) = J G( x, s, t )p(s)ds

ад

y
G (x, s, t) =


1


2л/


ma ²t


e


( x-s )² 4a²t

oziladi. Bunda

f
G(x, s, t - О


1


( x-s )^2
4a ^(t-t0⁾


cp2y] m ²(t -t₀)

funksiya sterjen x nuqtasining t ondagi temperaturasini ifodalaydi. Bundan tashqari G(x,s,t -1₀) funksiya o’zining (x,t) o’zgaruvchilar bo’yicha u_t = a²u_xx issiqlik tarqalish tenglamasining yechimi bo’ladi. Haqiqatan ham integralni hadlab differensiallash haqidagi teoremani qo’llab quyidagi xususiy hosilalarni topamiz:

1 x - s


^Gx⁽x ^{s, t -1}0⁾ = ^-


^^/m 2[a²(t -10)]²


e


( x-s )²
4a²(t-t0)


^Gx ^{(X, S, t - t}0⁾


1


1


+ ■


(x - s)²


( x-s )^{2
4a (t-t}0⁾


. ^{2[a2(t -} Of ^{4[a2(t -} Of


24m


^G(^^{s,t - t}0⁾


1

^{2[a2(t - t}0^)]2



+


(x - s)^{2
4[a2(t - t}0^)]2


> e


( x-s )^{2
4 a (t-t}0⁾

unksiya odatda issiqlik tarqalish tenglamasining fundamental yechimi deb aytiladi. Bu funksiya quyidagicha fizik ma’no kasb etadi: Agar boshlang’ich t = t₀ vaqtda sterjen 5 nuqtasida Q = cp issiqlik miqdori ajralgan bo’lsa, u holda

Bularni o’rniga qo’yib haqiqatan ham G_t = a²G_xx ekanligiga ishonch hosil qilamiz. Hisoblashlarga ishonch hosil qilish uchun yuqoridagi xusuiy hosilalarni va tenglama yechimi ekanligini mustaqil tekshirib chiqing.

Koshi masalasidagi boshlang’ich shartdagi berilgan p funksiya uzluksiz va chegaralangan funksiyadir. Koshi masalasining integral tasviri, ya’ni (1.2.17) formula odatda chegaralanmagan sohada Koshi masalasi yechimi uchun Puasson formulasi hamda undagi integralga esa Puasson integrali deg yuritiladi.

3. 
   §. Parabolik tipli tenglamalarga qo’yilgan chegaraviy masalalarni yechishning Fur’e usuli
   

Bu mavzuning asosiy mohiyati xuddi biz to’lqin tenglamasiga qo’yilgan chegaraviy yoki aralash masalani yechishda qo’llanilgan Fur’e usulining issiqlik

tarqalish tenglamasiga tadbiq etishdan iboratdir. Avvalgi mavzularda biz issiqlik tarqalish tenglamasiga qo’yilgan uch turdagi chegaraviy masalalaming qo’yilishi, ular yechimining yagonaligi masalasini hal etilishi bilan tanishgan edik.

Ayytilgan usul bilan biz dastlab issiqlikning bir jinsli tenglamasiga qoyilgan bir jinsli 1-tur chegaraviy masala misolida tanishamiz, ya’ni quyydagi masalani yechamiz:

u_t = a²u_xx,0 < x < t,t > 0 (1.3.1)

issiqlik tarqalish tenglamasining

u(x,0) = p(x), 0 < x < t (1.3.2)

boshlang’ich hamda

u(0,t) = 0, u(t,t) = 0, t > 0 (1.3.3)

chegaraviy shartni qanoatlantiruvchi va 0 < x < t, t > 0 sohada aniqlangan ikkinchi tartibgacha uzluksiz yechimini topish talab qilinadi. Bunda p(x) berilgan uzluksiz differensizllanuvchi funksiya bo’lib,
0 shartni qanoatlantiradi.

Ushbu masalaning izlangan ko’rinishdagi nolmas yechimi mavjud deb faraz

qilib

u(x,t) = X(x)T(t) ф 0 (1.3.4)

ko’rinishda izlaymiz. Yechimning kerakli xususiy hosilalarni topib (1.3.1) tenglamaga qo’ysak, u quyidagi tenglamaga teng kuchli bo’ladi:

X(x)T\t) = a²X”(x)T(t), 0 < x < t,t > 0.

Xuddi to’lqin tenglamasidagi kabi, bu tenglamaninig ikkala qismini nolmas a² X (x)T (t) ifodaga bo’lib quyidagi tenglamalarga kelamiz:

X ”(x) T\t)

X (x) = a ²T (t)

Bu tenglama biz avval tanishganimiz kabi ikkita oddiy differensial tenglamalarga ajraladi:

X
(1.3.5)

”(x) + AX (x) = 0 T\t) + Aa ²T (t) = 0

3. 
   chegaraviy shartlar quyidagi ko’rinishni oladi:
   

u( x,0) = 01 X (0)T (t) = 01 X (0) = 01

u(x, £) = 0j ^ X(£)T(t) = 0J ^ X(£) = 0J ’

chunki T(t) = 0 bo’lsa (1.3.4) ga asosan u(x,t) yechimning aynan nolga tengligiga

kelamiz. Bu esa shartga ko’ra mumkin emas.

Shunday qilib biz X(x), 0 < x < £ funksiya uchun quyidagi qo’shimcha

masalaga keldik:

X”( x) + AX( x) = 0 (1.3.6)

tenglamaning

X(0) = 0, X(£) = 0 (1.3.7)

shartlami qanoatlantiruvchi nolmas yechimini topish lozim. Odatda bu masala issiqlik tarqalish tenglamiga qo’yilgan bir jinsli 1-tur chegaraviy masalaga mos Shturm-Liuvill masalasi deb yuritiladi. (1.3.6) tenglama nolmas yechimga ega bo’ladigan Я ning qiymatiga Shturm-Liuvill masalasi xos qiymati va unga mos nolmas X (x) yechimga esa unga mos xos funksiya deyiladi.

Shturm-Liuvill masalasi yechimini X(x) = Ce^kx ko’rinishda izlaymiz. U holda ikkinchi tartibli oddiy chiziqli (1.3.6) differensial tenglamaning xarakteristik tenglamasi deb ataluvchi

k² +Я = 0 (1.3.8)

tenglamaga kelamiz. Ushbu chala kvadrat tenglamaning yechimi Я qiymatining ishorasiga (manfiy, nol yoki musbatligiga) bog’liq. Shuning uchun ham bu uchta holni alohida-alohida qarab chiqamiz.

1-hol. Я< 0 manfiy bo’lsin. Bu holda (1.3.8) tenglama ikkita har xil haqiqiy k₂ = W-Я ildizlarga ega bo’lib, (1.3.6) tenglamaning umumiy yechimi

X (x) = Ae^^x + Be ^

ko’rinishda bo’ladi. Bundagi A va В koeffitsiyentlarni shunday tanlaymizki, (1.3.7) chegaraviy shartlar ham bajarilsin. Bu shartlar asosida quyidagi chiziqli tenglamalar sistemasiga kelamiz:

X(0) = 01 A + B = 0 1 A = -B 1 A = 01

X(£) = 0J ^ Ae^^£ + Be^-ГЛ£ = 0j ^ B(e^ - e^) = 0j^ B = 0j'

Oxirgi tenglik A < 0 bo’lganda (Л ф 0 bo’lishi yetarli) e⁴~^A£ ф e~'^rJl ga asoslanib yozilgan. Demak Л < 0 bo’lgan holda Shturm-Liuvill masalasi faqat nol yechimga ega bo’lib, xos qiymat va xos funksiyaga ega emas ekan. Endi ikkinchi holni qaraymiz.

2. 
   hol. Л = 0 bo’lsin. Bu holda (1.3.6) tenglama X"(x) = 0 ko’rinishni oladi.
   

Uning umumiy yechimi X(x) = Ax + B ko’rinishda bo’ladi. Bunda ham A va В

koeffitsiyentlarni shunday tanlaymizki, (1.3.7) chegaraviy shartlar ham bajarilsin:

X (0) = 01 B = 0 1 A = 01

X(£) = 0J ^ A£ = 0J ^ B = 0J.

Demak Л = 0 bo’lgan holda ham Shturm-Liuvill masalasi faqat nol yechimga ega bo’lib, xos qiymat va xos funksiyaga ega bo’lmas ekan. Endi so’ngi holni qaraymiz.

3. 
   hol. Л > 0 musbat bo’lsin. Bu holda (1.3.8) tenglama ikkita qo’shma kompleks k₁₂ = ±h[A ildizlarga ega bo’lib, (1.3.6) tenglamaning umumiy yechimi
   

X(x) = AcosVA x + BsinVA x

ko’rinishda bo’ladi. Bu holda ham umumiy yechimdagi ixtiyoriy A va B koeffitsiyentlarni shunday tanlaymizki, (1.3.7) chegaraviy shartlar bajarilsin. Bu shartlar asosida quyidagi chiziqli tenglamalar sistemasiga kelamiz:

X (0) = 01 A = 0

X(£) = 0J ^ BsinVAf = 0 .

O
Л = A =


n = 1,2,3,

xirgi sistemadan X(x) ф 0 bo’lganligidan (B=0 bo’lsaX(x)=0 bo’lar edi)

ekanligini va ularha mos yechim o’zgarmas ko’paytuvchi aniqligida

X (x) = sin x.
^{n ( )} £

D
A =


/ V ' пл '


пл


V l J


,n = 1,2,3,— xos qiymatlarga va ularga mos X_n (x) = sin —x xos

emak Л> 0 bo’lgan holda Shturm-Liuvill masalasi musbat

funksiyalarga ega bo’lib, xos funksiyalar skalyar ko’paytmasi uchun n Ф m £ N bo’lganda

(
= 0


-x s

₀ l l 2 V n - m

tenglikni, ya’ni ortogonallik shartini qanoatlantiradi.

пл
X_n, X_m )= f sin ^ПЛ x sin ^тл xdx = — —¹—sin(n - т)л ¹—sin(n + т)л

^{n m} 0 l l 2 V n - m n + m J

Demak (1.3.1) tenglama faqatgina k_n= — ,n = 1,2,3,— bo’lgandagina

V ^l J

/ Л² I пл I

nolmas yechimga ega bo’lar ekan. A = A_n= — ,n = 1,2,3,— bo’lganda (1.3.5)

V ^l J

sistemaning ikkinchi tenglamasi yechimi quyidagicha tasvirlanadi:

T
(1.3.9)

(t) = Ce-^al<t.

n V У n

U holda (1.3.4) ga asosan

-f —a) t пл

u (x,t) = T (t)X (x) = Ce ^{V l J} sin—x.

n\“/ n \ s n\ s n ^

1. 
   n
   30
   
   
   30
   
   
   пл
   
   
   2
   
   
   u(x,t) = 2u_n(x,t) = 2Ce ^{V l J} sin
   
   
   n=1
   
   
   n=1
   
   
   пл
   
   l
   
   
   x
   
   
   (1.3.10)
   
   ing chiziqli differensial tenglama ekanligidan va hozircha yaqinlashishi noma’lum bolgan
   

qator har biri uning yechimidan iboratligidan yig’indi ham (1.3.1) tenglamaning

3. 
   chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi yechimi bo’ladi.
   

B
2 l

^Cn =Фп = -\ф^{( x)sin}

l 0


пл

l


xdx


(1.3.11)

undan esa bu koeffitsiyentlar uchun

formula o’rinli ekanligini olamiz.

Shunday qilib biz koeffitsiyentlari (1.3.11) formulalar bilan aniqlanuvchi (1.3.10) qatorning yaqinlashuvchi bo’lib, uning yig’indisi u(x,t) ning (ya’ni

qatoming) x bo’yicha ikki marta va t bo’yicha bir marta differensiallanuvchanligini ko’rsatsak, qo’yilgan (1.3.1)-( 1.3.3) masalaning yechimini topgan bo’lamiz.

Shu maqsadda biz

“ du » d²u У—- va У—n

n=1 dt n=1 dx

q

du		- C	(пж Л
n	=		—a
dt		n	l l J

пж


l


e


—


—


a I t


sin-


пж

T


-x


<


Cnl


пж


\


2


пж


a I t


—a
l l J


e


l

atorlarning tekis yaqinlashuvchiligini ko’rsatamiz. Buning uchun funksional qatorlar tekis yaqinlashuvchi bo’lishligi haqidagi Veyershtrass teoremasini tadbiq etamiz. Faraz qilaylik ( > 0 ixtiyoriy son va t > t₀ bo’lsin.

S
l


jV( x)si


0


пж . sin—xdx

l


2 i

< — j\p(x)|dx < 2M

^l 0

hartga ko’ra cp(x) funksiya yopiq 0 < x < l sohada uzluksiz bo’lganligi uchun chegaralangan bo’ladi, ya’ni shunday M > 0 son topilib barcha 0 < x < l lar uchun |^(x)| < M tengsizlik bajariladi. U holda

tengsizlik o’rinli bo’ladi. Bundan foydalansak quyidagi munosabatga ega bo’lamiz:

du	< 2M	(пж Л
п		—a
dt		l l J

2

e


пж

—a

l




U
a = 2M

n


' пж '

—a


пж

—a


e


l


2

I t0


l

mumiy hadi

bo’lgan

да

У
п

a

п=1

musbat hadli qatorning yaqinlashuvchi ekanligini ma’lum alomatlar, masalan Dalamber (yoki Koshi) alomatidan foydalanib

l im -^nfL = 0
a

n

ekanligini ko’rsatish mumkin. Demak Veyershtrass teoremasiga ko’ra (1.3.10) qatomi t bo’yicha ^t > t > ⁰ sohada istalgan marta differensiallash mumkin. t₀ > 0 ning ixtiyoriyligidan bu tasdiq istalgan t > 0 uchun o’rinli bo’lib, (1.3.10) qator yig’indisi (1.3.1) tenglamani va (1.3.2)-( 1.3.3) shartlarni qanoatlantiradi.

Endi (1.3.10) qatorni x bo’yicha 0 < x < t sohada istalgan marta diffrensiallash mumkinligini ko’rsatamiz. Xuddi yuqoridagi kabi mulohazalar yuritib, quyidagi baholashga ega bo’lamiz:

a

a ^2u	< 2M	' пП
n
dx^1		l t J

2

nn

t

e
I t

Bundan esa (1.3.10) qator yaqinlashuvchi va uning yig’indisi (1.3.1) tenglamaning

2. 
   -( 1.3.3) shartlarni qanoatlantiruvchi yechimi ekanligini olamiz.
   

3.