Differensial tenglamalar kafedrasi

8. Olingan natijalarining qisqacha mazmuni: Bitiruv malakaviy ishida, Maple matematik paketidan foydalanib, sterjenda issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamalarni Fur’ye usuli ya’ni o’zgaruvchilarni ajratish usuli yordamida yechish keltirilgan. Maple paketi orqali parabolik tipdagi tenglamalarni yechish jarayoni qoidaga mos ta’lim berish uchun qiziqarli misollar yordamida tasvirlangan. Maple paketini har bir turdagi masalani yechishga qo’llanilishi ketma-ket tarzda keltirilgan, ya’ni parabolik tipdagi tenglamalarni yechishda misollarga quyidagicha tavsif berilgan: hisoblash formulasi, analitik va sonli yechimi, shuningdek, yechimning ikki o’lchovli animasiyali grafigi tasvirlangan.

1. 
   Bob. Sterjenda issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasini Fur’ye usuli
   (o’zgaruvchilarni ajratish usuli) yordamida yechish
   
   1. 
      §. Parabolik tipli tenglamalarga keltiriladigan fizik jarayonlar: issiqlik tarqalish va diffuziya tenglamalari
      

1. 
   Asosiy masalalarning qo’yilishi
   

Fizikaning issiqlik harakati va gazlaming diffuziyasi bilan bog’liq masalalarini o’rganish odatda ikkinchi tartibli xususiy hosilali giperbolik tenglamalar orqali o’rganiladi [1]. Bunday tenglamalarni kanonik shaklga keltirish bilan ularning eng sodda misoli sifatida

u_t = и

t xx

issiqlikning Ox o’qi bo’ylab erkin tarqalish tenglamasi hisoblanadi. Bu shakldagi tenglamalar chekli uzulikdagi sterjen, yaxlit uzun metal o’tkazgich bo’ylab tarqalayotgan issiqlik miqdorini uning x nuqtasiga mos kesimning t vaqtdagi и (x, t) temperaturasi orqali o’rganishda hosil bo’ladi.

2. 
   Chekli sterjenda issiqlikning tarqalishi
   

Biz mavzuning bu qismida tashqi muhitdan issiqlikdan himoyalangan l uzunlikdagi yatarlicha ingichka sterjenni qaraymiz. Aniqlik uchun sterjenni Ox o’qi bo’ylab bir uchini x = 0 nuqtaga, uning ikkinchi uchini esa x = l nuqtaga joylashtiramiz. Sterjen x nuqtasiga mos kesimning t vaqtdagi temperaturasini и (x, t) bilan belgilaymiz.

Dastlab eng sodda masalalarni qaraymiz. Faraz qilaylik, sterjen uchlarida doimiy T va T₂ temperaturalar ushlab turilgan bo’lsa, u holda bir jinsli sterjenda

b
^u(x ⁾= T1 -+


T 2 - T1

l


x


(1.1.1)

iz issiqlikning uning nuqtalari bo’ylab chiziqli uzatilishiga ega bo’lamiz:

Ma’lumki, bunda issiqlik yuqori temperaturali uchdan past temperaturali uchga tomon oqadi. Bunda biz agar issiqlik oqimi Ox o’qining musbat yo’nalishida bo’lsa, uni musbat, aks holda manfiy deb qaraymiz.

8

Bu holda sterjenning S kesim yuzidan birlik vaqt mobaynida oqib o’tgan issiqlik miqdori