Differensial tenglamalar kafedrasi

belgilash kiritasak:

+ да

u( x, t) = I G( x, 5, t )p(s)ds.

—да

G( x, s, t) funksiyamiz issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasini s-fiksirlangan

bo’lganda qanoatlantirishini ko’rsatamiz:

^Gx ⁽^ ^t)

1

44m4 ^6x3

(x — s)21f_ 2(x — s)\ 4a ²t J\ 4a ²t J’

Gt (x, s, t)

1

—I 3 exp

2\4m2 ²

(x — 5)2 4a

1

+ , exp d4m2

(x — s) 1 (x — s) 2 4a2 J 4a22

^Gxx ^{(x, s, t)} =

1

44

^{(x — s)2} 1 ^{(x — s)2} , ¹ expl ^{(x —} f⁾² 1(__2_)

^expi

4a²t J 4a^xt² -J4

...... _y . I 4a²t J 4a²t'

G(x, s, t) = a²G_xx (x, s, t) ekanligini tekshirish oson.

Endi bizlar xosil bo’lgan funksiyamizni qandaydir boshlangich shartlarda mavjud ekanligini ko’rishimiz kerak.

2.6-Teorema (Koshi masalasi yechimining mavjudlik teoremasi).

(2.3.2) Koshi masalaning boshlang’ich shartlarini p(x) yordamidi aniqlangan bo’lsin va

(p(x) e C(R), |p(x)| < M, Vx e R.

n²t

\rn ²t

Shunda (2.3.5) formula bilan aniqlangan u(x,t) funksiya xeR,t >0 bo’lganda uzluksiz bo’ladi, u_t,u_xx uzluksiz xosilalarga ega, agarda x eR,t > 0 bo’lsa, va issiqliq o’tkazuvchanlik tenglamani qanoatlantiradi. x e R, t > 0 va

^Vxo ^{e Rlim u(}x^t) = P^(x0⁾ lar uchun

t—0+ x——x

Izox: Teoremaning oxirgi sharti quyidagi ma’noga ega.

1

u(x, t) = <

I

CO

44.

rna²t

exp{— ——44-}p(s)ds, t > 0; 4a ²t

p( x), t = 0.


da uzluksiz ekanligini oxirgi shart bildiradi.

2.1-Natija: Agarda teoremaning barcha shartlari (^(x) e C(R),\p(x)\

bajarilsa, demak biz u(x,t) funksiyamiz chegaralangan ekanligini xulosa qilishimiz mumkin.

+да +да

|u(x, t)| = J |G(x, s, t)|\p(s)|ds < M JG(x, s, t)ds = M.

—да —да

2. 
   Natija: Xuddi shunday qilib (R x r⁺) fazoda u(x,t) funksiyamiz cheksiz uzluksiz ekanligini xosil qilishimiz mumkin.
   

3^pu , _ч ⁺да 3^pG . . , _w

3^^(x’'^{) =}I^T ^(x’^stMs)ds’ ^(k+m = ^p)

—да

bu integral esa tekis yaqinlashuvchi bulib, buni teorema isbotidagi tasdiklar orkali ko’rsatish mumkin.

2. 
   Natija: Koshi masalasidagi shartlarni kabul qilib, biz issiqlik tarkalishining "cheksiz" tezligiga ega bo’lamiz.
   

Faraz qilaylik
uzluksiz funksiyamiz [a;b] oralikdan boshqa barcha joyda nolga teng bo’lsin. U holda quyidagiga ega bo’lamiz.

b

u(x, t) = J G(x, s, t)p(s)ds > 0 _{vt > 0},_{Vx e R}

a

2.7-Teorema (Koshi masalasi yechimining yagonaligi). Koshi masalasi berilgan bo’lsin. Faraz qilaylik (r x r⁺) fazoda bizlarga ikkita uzluksiz u₁(x,t), u₂(x,t) funksiyalar berilgan bo’lsin va ular (2.3.2) masalaning yechimlari bulib, quyidagi shartlarni qanoatlantirsin.

u (x, t)| < M, V(x, t) e R x R ⁺ ;

d
i = 1,2


e C (R x R ⁺ )

u_t 3 ² u ~5t~⁹ 3t²

shunda

u (x, t) = u₂ j (x, t)V( x, t) e (R x R⁺)

2. 
   §. Yarim to’g’ri chiziqda issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasi uchun
   birinchi va ikkinchi chegaraviy masala
   

1. 
   Yarim to’g’ri chiziqda qo’ydagi birinchi chegaraviy masala
   

Yarim to’g’ri chiziqda qo 'ydagi birinchi chegaraviy masalani ko’rib chiqamiz:

^utt = ^{a u}xx^{, x}>^0t >⁰;

< u(0,t) = 0, t > 0; (2.4.1)

u(x,0) = ф(x), x > 0.

bu yerda ф(x) = 0.

Butun Haqiqiy o’qda boshlang’ich shartni beruvchi ф(x) funksiyani toq qilib davom ettirib yechimni topamiz:

Ф(x) = { ^Ф(x)’ ^x > ^0;

[—ф(—x), x < 0.

Mos ravishda qo ’ydagi Koshi masalasini ko ’rib chiqamiz:

^U
(2.4.2)

tt = ^{a U}xx^{, —да}<^x<+^да,t>⁰;

U(0, t) = 0, t > 0;

U
Uningyechimi bizga malum: 1


U (x, t) = J


да


^4xa ‘


t


exp {— ——^ ^(s)ds.


4a ²t

(x,0) = Ф( x) , — да < x < +да.

Aytaylik (x, t) e (R ⁺x R⁺) da u(x, t) = U(x, t) . Bu funksiya (2.4.1) ning yechimi ekanligini ko ’rsatamiz. Koshi masalasining qo ’yilishiga ko ’ra,

u_t = a u^ , x > 0,t > 0;

u(x,0) = ф(x), x > 0.

e
+да -j

i(0, t) = U (0, t) = J exp {-

—дад/4^a t


s


4a ²t


^(s)ds.

kanligi malum. Chegaraviy shartni bajarilishini tekshiramiz:

I
u( x, t) =