Differensial tenglamalar kafedrasi

§ Issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasi uchun birinchi chegaraviy masalani

yechimining yagonaligi va turg’unligi

1. 
   Teorema (Birinchi chegaraviy masalani yechimining yagonaligi).
   

Bizga u (x, t), щ (x, t) funksiyalar

C
i = 1,2

И, 0, T T C TQT sinfdan olingan bo’lib, bu funksiyalarning ikkalasi ham (2.2.1) chegaraviy masalaning yechimi bo’lsa, shunda quyidagi tenglik o’rinli: щ (x, t) = щ (x, t)

Isboti: Yangi v(x,t)= щ(x,t)-щ(x,t) funksiya kiritamiz. Shunda v e c[QJ

C
^vt, ^vxx ^e
[Q_T J bo’lishi aniq.

Bu funksiyamiz quyidagi masalaning yechimi bo’ladi

У = ^a^^uxx^{, x e}( ⁵) ^{, t e}( ^{0 T} ]

v(0, t) = 0, t e[0, T] v (l, t) = 0, t e[o, T] v (x, 0) = 0, x e [°, l ]

v(x, t) funksiya uchun max prinsipining barcha shartlari bajarilishi aniq. Demak

m
Qt

min v (x, t) = min v (x, t) = 0

max prinsipini qo’llaganimizda
ax v (x, t) = max v (x, t) = 0

^QT

^ v (x, t) = 0 ^ щ (x, t) = u₂ (x, t) teorema isbotlandi.

2
[Qz


д²u_; du;


l l


cx ² dt


C [Qt ], i=1,2

.1-Lemma. Bizlarga щ (x, t) va щ (x, t) funksiyalar berilgan va quyidagi shartlar bajarilsin:

va

д
e( 0, l), t e ( 0, T ], i = 1,2


> a
%

d
.2
t dx

Ui ( 0, t )> U2 ( 0, t), t e[0, T ]

Ui (l, t)> u₂ ( 0, t), t e [o, T ] щ (x,0) > щ (x, 0), x e [0, l]

o’rinli bo’lsa, shunda q sohada щ(x,t)> щ(x,t).

2. 
   
   д²щ дщ
   
   ^{т 1,} HoF ’ ы
   
   
   ^ e ^C [^Qt ], ⁱ⁼¹,²
   
   T
   щ
   
   
   c [q
   
   eorema (Birinchi chegaraviy masalani yechimining turg’unligi). Bizga
   щ (x, t), щ (x, t) funksiyalar berilgan va quyidagi shartlar:
   

= a² , x e ( 0, l), t e ( 0, T ], i = 1,2

(0,t) = ^ (t),t e[0,T],i = 1,2 (l,t) = ^2 (t),t e [o,T],i = 1,2 (x,0) = ф (x),x e[0,l],i = 1,2

o’rinli bo’lsa, shunda

max|щ (x, t) - щ (x, t) = max jmax|A (t)- (t), max ju\ (t)- ju₂ (t), max|^ (x)- ф₂ (x) j

tenglik o’rinli.

U
(2.3.2)

mumiy chegaraviy masala yechimining yagonaligi

^u
0 < t < T, 0 < x < l; 0 < t < T;

0 < t < T;

0 < x < l;


(2.3.1)

t = ^a2u_xx + ^{f (}x ^t); a₁u (0, t) - a₂u_x (0, t) = p(t);

^p1^{U (}l^, t⁾ + p₂Ux ⁽l^, t⁾ = q^(t);

u (x,0) = p( x);

Bu yerda a₁ +a₂ > 0; P₁ + p₂ > 0. -manfiy bo’lmagan o’zgarmaslar. Bu

o’zgarmaslar uchun quyidagi shart bajarilishi kerak.

a+a₂> 0; P + P> 0;

Bu chegaraviy masala uchun quyidagi teorema o’rinli.

2.5-Teorema (yagonalik). Faraz qilaylik, Q^ sohada щ, u₂ (x, t) funksiyalar

aniqlangan bo’lsin. Bu funksiyalar quyidagi shartlarni qanoatlantiradi:

-

— Я2и Я2и

C[Q_T ], , -e e C[Q], i = 1,2,
u

dx -x2 -t

va bir xil (2.3.1) chegaraviy masalaning yechimlari bo’lsin. Shunda Q sohada u₁(x,t) = u₂(x,t) ¹

v(x,t) funksiyadan issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasini qanoatlantirishini talab qilamiz:

T'(t) X ( x) = a^X "( x)T (t).

Ikkala tomonini a²X (x)T (t) ga bo’lamiz, shunda hosil bo’lgan tengliklar

quyidagicha: ^{X (x)} = ^T(t) = —i² X(x) a ²T (t)

Bu yerda 1 = const >0 ikkita tenglama xosil bo’ladi:

X"(x) + 1²X(x) = 0; (2.3.3)

T" (t) + a ²1²T (t) = 0. (2.3.4)

X (x) = e^l1 funksiya (2.3.3), tenglamaning yechimi bo’ladi. Xuddi shunday qilib T(t) = e~^a212 funksiyamiz (2.3.4) tenglamaning yechimi bo’ladi. Demak, v(x,t) = e^l1c-a21t birinchi tenglamaning yechimi bo’ladi. u₁ = A(A)e^,bc-a21t funksiya ham yechim bo’ladi (A (i )-qandaydir funksiya)

Endi yakuniy funksiya quyidagicha aniqlanadi

+ад

u(x, t) = J A(A)e^l1x-a2l2tdA

—ад

boshlang’ich shartlani qanoatlantirishini talab qilamiz

+ад

u( x,0) = p( x) = J A(X)e^,1xdX

—ад

Endi, Fur’ye almashtirishtirishlar nazariyasinidan kelib chiqgan holda A(l) quydagicha topamiz

+
2л

A(1)
ад

J e ^—1sp(s)ds .

—ад

Shunday qilib bizlar u( x, t): funksiya uchun quydagi ko’rinishini xosil qilamiz

+ад ^ +ад +ад +ад ^

u(x, t) = f— fe^—1sp(s)ds в^ш—а2112td1 = f f—e^{l1(x—s)—a21 t}d1 p(s)ds.

J О rr J J J О rr

2л ^{J J J} 2л

— ад —ад

u( x, t): uchun yechim shunday ko’rinishga ega

+ад

l(x, t) = J

u (

1

A 4m 2

exp ■

^{(x — s)2}\p(s)ds.

4a²t j

(2.3.5)

G( x, 5, t)

V4rn²t

exp

4a 2 y